Комбинаторика

[Galin Totev]

Нека \(S_n\) е сумата от реципрочните стойности на ненулевите цифри на всички положителни цели числа до (включително) \(n\). Например,
\[S_{13} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13}
.\]
Намерете най-малкото положително цяло число \(k\), такова че числото \(k! \cdot S_{2016}\) е цяло.

[Galin Totev]

Естествените числа от \(1\) до \(50\) са записани на дъска. Най-малко колко от тях трябва да бъдат изтрити, за да няма две останали числа, чиято сума е просто число?

[Galin Totev]

Таблица \(5 \times 5\) се нарича регулярна, ако всяка от нейните клетки съдържа едно от четири две по две различни реални числа, така че всяко от тях се среща точно веднъж във всяка подтаблица \(2 \times 2\). Сумата от всички числа в регулярна таблица се нарича обща сума на таблицата. С произволни четири числа се конструират всички възможни регулярни таблици, изчисляват се техните общи суми и се броят различните резултати. Определете максималния възможен брой на различните резултати.

[Galin Totev]

Разделяне на многоъгълник е краен брой триъгълници, чиито вътрешности са две по две непресичащи се и чието обединение е самият многоъгълник. За дадено цяло число \(n \geq 3\), определете най-голямото цяло число \(m\), такова че никой \(n\)-ъгълник не може да бъде разделен на по-малко от \(m\) триъгълника.