Лекции

[Galin Totev]

Задача 1 За реалните положителни числа $a$, $b$ и $c$ с $abc=1$ да се докаже, че:
\[ \bigg(a+\frac{1}{b}\bigg)^2 + \bigg(b+\frac{1}{c}\bigg)^2 + \bigg(c+\frac{1}{a}\bigg)^2 \geq 3(a+b+c+1). \]

Задача 2 Ако $a$ и $b$ са положителни реални числа, да се докаже, че:
\[\frac{a^2+b^2}{2a^5b^5} + \frac{81a^2b^2}{4} + 9ab > 18. \]

Задача 3 За реалните положителни числа $a$, $b$ и $c$ да се докаже, че:
\[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}.\]

Задача 4 За реалните положителни числа $a$, $b$ и $c$ е изпълнено $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}=3$. Да се докаже, че:
\[\frac{a+b}{a^2+ab+b^2}+ \frac{b+c}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c+a}{c^2+ca+a^2}\le 2.\]

Задача 5 Да се докаже, че за положителните реални числа $x,y$ и $z$ е изпълнено неравенството:
\[\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}+2\left(\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}+\frac{x}{yz} \right)\ge 9.\]

Задача 6 Да се докаже, че за положителните реални числа $x,y$ и $z$ е изпълнено неравенството:
\[(3x+y)(3y+z)(3z+x) \ge 64xyz.\]

Задача 7 Положителните реални числа $a,b,c$ изпълняват равенството $ab+bc+ac=1$. Да се докаже, че
\[\sqrt{a+\frac{1}{a}}+\sqrt{b+\frac{1}{b}}+\sqrt{c+\frac{1}{c}} \geq 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}).\]

Задача 8 За реалните положителни числа $a$, $b$ и $c$ е изпълнено $a+b+c=1$. Да се докаже, че:
\[(a+1)\sqrt{2a(1-a)} + (b+1)\sqrt{2b(1-b)} + (c+1)\sqrt{2c(1-c)} \geq 8(ab+bc+ca).\]

Задача 9 За реалните положителни числа $a$, $b$ и $c$ е изпълнено $a + b + c + ab + bc + ca + abc = 7$. Да се докаже, че:
\[\sqrt{a^2 + b^2 + 2 }+\sqrt{b^2 + c^2 + 2 }+\sqrt{c^2 + a^2 + 2 } \ge 6.\]

Задача 10 За реалните положителни числа $x$, $y$ и $z$ с $xyz\geq 1$ да се докаже, че:
\[(x^4+y)(y^4+z)(z^4+x) \geq (x+y^2)(y+z^2)(z+x^2).\]

[Galin Totev]

Задача 1. Съществува ли полином \(P \in ℝ[x]\), за който \[P\left(\frac{1}{k}\right)=\frac{1}{2k+1}\] за всяко естествено число $k$?

Задача 2. Да се намерят всички полиноми $P\in ℝ[x]$, за които \[P(P(x))=\left\lfloor (P(x))^2\right\rfloor,\forall x\in ℤ.\]

Задача 3. Нека $n$ е четно естествено число и $P$ е моничен полином с реални коефициенти от степен $2n$. Оказало се, че за всяко цяло число $k$, за което $1\leq\vert k\vert\leq n$, е вярно, че $P(\frac{1}{k})=k^2$. Намерете всички реални $x\neq0$, за които $P(\frac{1}{x})=x^2$.

Забележка. Полином се нарича моничен, ако старшият му коефициент е равен на 1.

Задача 4. Нека $n\geq2$ е естествено число. Моничният полином $P\in ℝ[x]$ от степен $n$ е такъв, че \[P(1)=2,~P(2)=3,\dots,~P(n-1)=n,~P(n)=1.\] Да се намери на колко е равно $P(0)$.

Задача 5. а)Съществуват ли полиноми $P,Q,R$ на три променливи с реални коефициенти, за които \[(x+2018y+2019z)^2\cdot P+(x+2019y+2018z)^2\cdot Q+(x+y+z+2019)^2\cdot R=2019^2\] за всеки три реални числа $x,y,z$?

б)Съществуват ли полиноми $A,B,C$ на две променливи с реални коефициенти такива, че \[(x+y+2019)^2\cdot A+x^2\cdot B+y^2\cdot C = 2019^2\] за всеки две реални числа $x,y$?

Задача 6. Дадено е реално число $k$. Да се намерят всички полиноми $P\in ℝ[x]$ такива, че за всяко реално $x$ е в сила \[(x+1)P(x-1)-(x-1)P(x)=k.\]

Задача 7. Да се намерят всички полиноми $P\in ℝ[x]$ такива, че за всяко реално число $x$ \[(x+1)P(x-1)+(x-1)P(x+1)=2xP(x).\]

[Boco04]

Да се намери