Задача 1 За реалните положителни числа $a$, $b$ и $c$ с $abc=1$ да се докаже, че:
\[ \bigg(a+\frac{1}{b}\bigg)^2 + \bigg(b+\frac{1}{c}\bigg)^2 + \bigg(c+\frac{1}{a}\bigg)^2 \geq 3(a+b+c+1). \]Задача 2 Ако $a$ и $b$ са положителни реални числа, да се докаже, че:
\[\frac{a^2+b^2}{2a^5b^5} + \frac{81a^2b^2}{4} + 9ab > 18. \]Задача 3 За реалните положителни числа $a$, $b$ и $c$ да се докаже, че:
\[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}.\]Задача 4 За реалните положителни числа $a$, $b$ и $c$ е изпълнено $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}=3$. Да се докаже, че:
\[\frac{a+b}{a^2+ab+b^2}+ \frac{b+c}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c+a}{c^2+ca+a^2}\le 2.\]Задача 5 Да се докаже, че за положителните реални числа $x,y$ и $z$ е изпълнено неравенството:
\[\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}+2\left(\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}+\frac{x}{yz} \right)\ge 9.\]Задача 6 Да се докаже, че за положителните реални числа $x,y$ и $z$ е изпълнено неравенството:
\[(3x+y)(3y+z)(3z+x) \ge 64xyz.\]Задача 7 Положителните реални числа $a,b,c$ изпълняват равенството $ab+bc+ac=1$. Да се докаже, че
\[\sqrt{a+\frac{1}{a}}+\sqrt{b+\frac{1}{b}}+\sqrt{c+\frac{1}{c}} \geq 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}).\]Задача 8 За реалните положителни числа $a$, $b$ и $c$ е изпълнено $a+b+c=1$. Да се докаже, че:
\[(a+1)\sqrt{2a(1-a)} + (b+1)\sqrt{2b(1-b)} + (c+1)\sqrt{2c(1-c)} \geq 8(ab+bc+ca).\]Задача 9 За реалните положителни числа $a$, $b$ и $c$ е изпълнено $a + b + c + ab + bc + ca + abc = 7$. Да се докаже, че:
\[\sqrt{a^2 + b^2 + 2 }+\sqrt{b^2 + c^2 + 2 }+\sqrt{c^2 + a^2 + 2 } \ge 6.\]Задача 10 За реалните положителни числа $x$, $y$ и $z$ с $xyz\geq 1$ да се докаже, че:
Започната от:
\[(x^4+y)(y^4+z)(z^4+x) \geq (x+y^2)(y+z^2)(z+x^2).\]
- Публикации
Задача 1 За реалните положителни числа $a$, $b$ и $c$ с $abc=1$ да се докаже, че:
\[ \bigg(a+\frac{1}{b}\bigg)^2 + \bigg(b+\frac{1}{c}\bigg)^2 + \bigg(c+\frac{1}{a}\bigg)^2 \geq 3(a+b+c+1). \]Задача 2 Ако $a$ и $b$ са положителни реални числа, да се докаже, че:
\[\frac{a^2+b^2}{2a^5b^5} + \frac{81a^2b^2}{4} + 9ab > 18. \]Задача 3 За реалните положителни числа $a$, $b$ и $c$ да се докаже, че:
\[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}.\]Задача 4 За реалните положителни числа $a$, $b$ и $c$ е изпълнено $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}=3$. Да се докаже, че:
\[\frac{a+b}{a^2+ab+b^2}+ \frac{b+c}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c+a}{c^2+ca+a^2}\le 2.\]Задача 5 Да се докаже, че за положителните реални числа $x,y$ и $z$ е изпълнено неравенството:
\[\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}+2\left(\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}+\frac{x}{yz} \right)\ge 9.\]Задача 6 Да се докаже, че за положителните реални числа $x,y$ и $z$ е изпълнено неравенството:
\[(3x+y)(3y+z)(3z+x) \ge 64xyz.\]Задача 7 Положителните реални числа $a,b,c$ изпълняват равенството $ab+bc+ac=1$. Да се докаже, че
\[\sqrt{a+\frac{1}{a}}+\sqrt{b+\frac{1}{b}}+\sqrt{c+\frac{1}{c}} \geq 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}).\]Задача 8 За реалните положителни числа $a$, $b$ и $c$ е изпълнено $a+b+c=1$. Да се докаже, че:
\[(a+1)\sqrt{2a(1-a)} + (b+1)\sqrt{2b(1-b)} + (c+1)\sqrt{2c(1-c)} \geq 8(ab+bc+ca).\]Задача 9 За реалните положителни числа $a$, $b$ и $c$ е изпълнено $a + b + c + ab + bc + ca + abc = 7$. Да се докаже, че:
\[\sqrt{a^2 + b^2 + 2 }+\sqrt{b^2 + c^2 + 2 }+\sqrt{c^2 + a^2 + 2 } \ge 6.\]Задача 10 За реалните положителни числа $x$, $y$ и $z$ с $xyz\geq 1$ да се докаже, че:
\[(x^4+y)(y^4+z)(z^4+x) \geq (x+y^2)(y+z^2)(z+x^2).\]
- Трябва да влезете в профила си, за да отговорите в темата.
