Комбинаторика

[Galin Totev]

Намерете максималния брой различни цели числа, които могат да бъдат избрани от множеството
\[
\{1, 2, 3, \ldots, 2013\}
\]
така че разликата между която и да е двойка от избрани числа да не е равна на \(17\).

[Galin Totev]

В билярдна маса с формата на правоъгълник \(ABCD\), където \(AB = 2013\) и \(AD = 1000\), топка се пуска по ъглополовящата на \(\angle BAD\). Да се провери дали топката някога ще достигне до върха \(B\), като се предполага, че при всеки удар в страните се отразява под същия ъгъл, под който е паднала.

[Galin Totev]

Нека \( n \) е положително цяло число. Двама играчи, Алис и Боб, играят следната игра:
– Алис избира \( n \) реални числа (не непременно различни).
– Алис записва всички двойки суми на лист хартия и ги дава на Боб. (Такива суми има \( \frac{n(n-1)}{2} \); не непременно различни.)
– Боб печели, ако успее да открие правилно първоначалните \( n \) числа, избрани от Алис, само с едно предположение.

Може ли Боб със сигурност да спечели в следните случаи?

а) \( n = 5 \)
б) \( n = 6 \)
в) \( n = 8 \)