Теория на Числата

[Galin Totev]

Намерете всички положителни цели числа \( n \), за които
\[
1^3 + 2^3 + \cdots + 16^3 + 17^n
\]
е точен квадрат.

[Galin Totev]

Решете в цели числа уравнението
\[
20^x + 13^y = 2013^z.
\]

[Galin Totev]

Намерете всички двойки \((a,b)\) от положителни цели числа, за които числата
\[
\dfrac{a^3 b – 1}{a + 1} \quad \text{и} \quad \dfrac{b^3 a + 1}{b – 1}
\]
са положителни цели числа

[Galin Totev]

Правоъгълник в декартовата координатна система \(xy\) се нарича решетъчен, ако всички негови върхове имат цели координати.

а) Намерете решетъчен правоъгълник с лице \(2013\), чиито страни не са успоредни на координатните оси.

б) Докажете, че ако решетъчен правоъгълник има лице \(2011\), то неговите страни са успоредни на координатните оси.

[Galin Totev]

Решете в положителни цели числа уравнението:
\[
\frac{1}{x^{2}} + \frac{y}{xz} + \frac{1}{z^{2}} = \frac{1}{2013}.
\]

[Galin Totev]

Решете в цели числа системата от уравнения:

\[
x^2 – y^2 = z
\]

\[
3xy + (x – y)z = z^2
\]