Алгебра

[Galin Totev]

Нека \(x, y, z\) са реални числа, които удовлетворяват следните условия:

• \(x \geq 20\)
• \(y \geq 40\)
• \(z \geq 1675\)
• \(x + y + z = 2015\)

Намерете най-голямата стойност на произведението \(P = xyz\).

[Galin Totev]

Ако \(x^3 – 3\sqrt{3} x^2 + 9x – 3\sqrt{3} – 64 = 0\), намерете стойността на
\[
x^6 – 8x^5 + 13x^4 – 5x^3 + 49x^2 – 137x + 2015.
\]

[Galin Totev]

Ако \(a, b, c\) са положителни реални числа, докажете, че:
\[
\frac{a}{b} + \sqrt{\frac{b}{c}} + \sqrt[3]{\frac{c}{a}} > 2.
\]

[Galin Totev]

Нека \(a, b, c\) са положителни реални числа, такива че \(a + b + c = 3\). Намерете минималната стойност на израза
\[
A = \frac{2 – a^3}{a} + \frac{2 – b^3}{b} + \frac{2 – c^3}{c}.
\]

[Galin Totev]

Нека \(x, y, z\) са положителни реални числа, такива че \(x^2 + y^2 + z^2 = 3\). Докажете, че
\[
\frac{x^2 + yz}{x^2 + yz + 1} + \frac{y^2 + zx}{y^2 + zx + 1} + \frac{z^2 + xy}{z^2 + xy + 1} \leq 2.
\]