Алгебра

[Galin Totev]

Нека \(a, b, c\) са положителни реални числа, такива че \(abc = 8\). Докажете, че
\[
\frac{ab + 4}{a + 2} + \frac{bc + 4}{b + 2} + \frac{ca + 4}{c + 2} \geq 6.
\]

[Galin Totev]

Нека \(a, b, c\) са положителни реални числа. Докажете, че
\[
\frac{8}{(a+b)^2 + 4abc} + \frac{8}{(b+c)^2 + 4abc} + \frac{8}{(a+c)^2 + 4abc} + a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{8}{a+3} + \frac{8}{b+3} + \frac{8}{c+3}.
\]

[Galin Totev]

Намерете всички двойки цели числа \((m, n)\), такива че
\[
\sqrt{n + \sqrt{2016}} + \sqrt{m – \sqrt{2016}} \in \mathbb{Q}.
\]

[Galin Totev]

Ако неотрицателните реални числа \(x, y, z\) удовлетворяват \(x^2 + y^2 + z^2 = x + y + z\), докажете, че
\[
\frac{x+1}{\sqrt{x^5 + x + 1}} + \frac{y+1}{\sqrt{y^5 + y + 1}} + \frac{z+1}{\sqrt{z^5 + z + 1}} \geq 3.
\]
Кога се достига равенство?

[Galin Totev]

Нека \(x, y, z\) са положителни реални числа, такива че \(x + y + z = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\). Докажете, че
\[
x + y + z \geq \sqrt{\frac{xy + 1}{2}} + \sqrt{\frac{yz + 1}{2}} + \sqrt{\frac{zx + 1}{2}}.
\]