Комбинаторика

[Galin Totev]

Алис и Боб играят следната игра: започвайки с числото \( 2 \), записано на дъската, всеки играч по ред променя текущото число \( n \) на числото \( n + p \), където \( p \) е прост делител на \( n \). Алис започва първа и играчите редуват ходовете си. Губи този, който е принуден да запише число, по-голямо от \( \underbrace{22…2}_{2020} \). При правилна игра от всеки, кой ще спечели?

[Galin Totev]

Виктор и Наталия купили \( 2020 \) кофи със сладолед и искат да организират график за дегустация с \( 2020 \) рунда, така че:

• Във всеки рунд и двамата опитват по един сладолед, като двата сладоледа, опитани в един рунд, са различни.
• В края на \( 2020 \) рунда и двамата опитват всеки сладолед точно веднъж.

Ще наречем графика за дегустация справедлив, ако броят на сладоледите, които Виктор е опитал преди Наталия, е равен на броя сладоледи, които Наталия е опитала преди Виктор.

Докажете, че броят на справедливите графици е строго по-голям от \( 2020!(2^{1010} + (1010!)^2) \).

[Galin Totev]

Алис и Боб играят следната игра: Алис избира множество \( A = \{1, 2, …, n \} \) за някое естествено число \( n \ge 2 \). След това, започвайки от Боб, те, един след друг, избират числа от множеството \( A \), като се спазват следните условия: първоначално Боб избира всяко число, което иска, а след това числото, избирано на всяка стъпка, трябва да е различно от вече избраните числа и да се различава с \( 1 \) от вече избрано число. Играта приключва, когато всички числа от множеството \( A \) бъдат избрани. Алис печели, ако сумата на всички числа, които тя е избрала, е съставно число. В противен случай Боб печели. Решете кой играч има печеливша стратегия.