Комбинаторика

[Galin Totev]

Дадена е квадратна дъска с размери \(2023 \times 2023\), в която всяка единична клетка е оцветена в синьо или червено. Има точно \(1012\) реда, в които мнозинството от клетките са сини, и точно \(1012\) колони, в които мнозинството от клетките са червени.

Каква е максимално възможната дължина на страната на най-големия едноцветен квадрат?

[Galin Totev]

На шахматна дъска с размери \(n \times n\) са поставени \(n\) блока върху единичните квадратчета, така че във всеки ред и всяка колона има точно един блок. Намерете максималната стойност \(k\), изразена чрез \(n\), такава че независимо от разположението на блоковете, да можем да поставим \(k\) топа на дъската, без два от тях да се заплашват взаимно.

[Galin Totev]

Алис и Боб играят следната игра на решетка с размери \(100 \times 100\), като се редуват, като Алис започва първа. Първоначално решетката е празна. На своя ход всеки играч избира цяло число от \(1\) до \(100^2\), което още не е записано в нито една от клетките, избира празна клетка и поставя числото в нея. Когато няма останали празни клетки, Алис изчислява сумата на числата във всеки ред, и нейният резултат е максимумът от тези \(100\) числа. Боб изчислява сумата на числата във всяка колона, и неговият резултат е максимумът от тези \(100\) числа. Алис печели, ако нейният резултат е по-голям от този на Боб, Боб печели, ако неговият резултат е по-голям от този на Алис, в противен случай никой не печели.

Определете дали някой от играчите има печеливша стратегия и, ако има, кой играч я притежава.

[Galin Totev]

Анна и Боб играят следната игра: На черната дъска първоначално е записано числото \(2\). Започвайки от Анна, те последователно удвояват числото, записано на дъската, или го повдигат на квадрат.

Играчът, който първи запише на дъската число, по-голямо от \(2023^{10}\), е победител. Определете кой играч има печеливша стратегия.

[Galin Totev]

Разгледайте нарастваща редица от реални числа \(a_1 < a_2 < \ldots < a_{2023}\), такава че всички суми по двойки на елементите в редицата са различни. За такава редица означете с \(M\) броя на двойките \((a_i, a_j)\), за които \(a_i < a_j\) и \(a_i + a_j < a_2 + a_{2022}\). Намерете минималната и максималната възможна стойност на \(M\).