Алгебра

[Galin Totev]

Да намерим всички тройки $(a, b, c)$ от реални числа, за които е изпълнена системата:
\[
a + b + c = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}, \]
\[ a^2 + b^2 + c^2 = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2}
\]

[Galin Totev]

Да разгледаме редицата \( a_1, a_2, a_3, \ldots \), дефинирана чрез:
\[
a_1 = 9, \quad a_{n+1} = \frac{(n+5)a_n + 22}{n+3}, \quad \text{за } n \geq 1.
\]

Да се намерят всички естествени числа \( n \), за които \( a_n \) е точен квадрат на цяло число.

[Galin Totev]

Да намерим всички тройки от положителни реални числа \( (a, b, c) \), за които изразът

\[
M = \frac{(a + b)(b + c)(a + b + c)}{abc}
\]

приема най-малката си стойност.