Геометрия

[Galin Totev]

Нека \( \triangle ABC \) бъде остроъгълен триъгълник. Правата през \( A \), перпендикулярна на \( BC \), пресича \( BC \) в точка \( D \).
Нека \( E \) бъде средата на отсечката \( AD \), а \( \omega \) окръжността с център \( E \) и радиус равен на \( AE \). Правата \( BE \) пресича \( \omega \) в точка \( X \), така че \( X \) и \( B \) не лежат от една и съща страна спрямо правата \( AD \), а правата \( CE \) пресича \( \omega \) в точка \( Y \), така че \( C \) и \( Y \) не лежат от една и съща страна спрямо правата \( AD \).
Ако двете пресечни на описаните окръжности около триъгълниците \( \triangle BDX \) и \( \triangle CDY \) лежат на правата \( AD \),
да се докаже, че \( AB = AC \).

[Galin Totev]

\( \triangle ABC \) е правоъгълен триъгълник с \( \angle BAC = 90^{\circ} \), а \( E \) е основата на перпендикуляра от точка \( A \) към страната \( BC \). Точка \( Z \ne A \) лежи на правата \( AB \) и е такава, че \( AB = BZ \). Нека означим с \( c \) и \( c_1 \) описаните окръжности около триъгълниците \( \triangle AEZ \) и \( \triangle BEZ \), съответно. \( c_2 \) е произволна окръжност, минаваща през точките \( A \) и \( E \). Окръжността \( c_1 \) пресича правата \( CZ \) за втори път в точка \( F \), и пресича \( c_2 \) за втори път в точка \( N \). Ако \( P \) е втората пресечна точка на \( c_2 \) с правата \( AF \), да се докаже, че точките \( N \), \( B \), \( P \) лежат на една права.

[Galin Totev]

\( \triangle ABC \) е правоъгълен триъгълник с \( \angle BAC = 90^{\circ} \) и \( E \) е основата на перпендикуляра от точка \( A \) към страната \( BC \). \( Z \ne A \) е точка на правата \( AB \), такава че \( AB = BZ \). \( c \) е описаната окръжност около триъгълника \( \triangle AEZ \). \( D \) е втората пресечна точка на окръжността \( c \) с правата \( ZC \), а \( F \) е диаметрално противоположната точка на \( D \) спрямо окръжността \( c \). \( P \) е пресечната точка на правите \( FE \) и \( CZ \). Ако допирателната към окръжността \( c \) в точка \( Z \) пресича правата \( PA \) в точка \( T \), да се докаже, че точките \( T \), \( E \), \( B \), \( Z \) лежат на една окръжност.

[Galin Totev]

Нека \( ABC \) е триъгълник, който не е равнобедрен, с център на вписаната окръжност \( I \). Нека \( D \) е точка на отсечката \( BC \), такава че описаната окръжност на \( BID \) пресича отсечката \( AB \) в \( E \neq B \), а описаната окръжност на \( CID \) пресича отсечката \( AC \) в \( F \neq C \). Описаната окръжност на \( DEF \) пресича \( AB \) и \( AC \) във вторите точки \( M \) и \( N \), съответно. Нека \( P \) е пресечната точка на правите \( IB \) и \( DE \), а \( Q \) е пресечната точка на правите \( IC \) и \( DF \). Докажете, че трите прави \( EN \), \( FM \) и \( PQ \) са успоредни.