Алгебра

[Galin Totev]

Намерете всички подредени тройки \((x,y,z)\) от реални числа, които удовлетворяват системата уравнения:

\[
\begin{cases}
x^3 = \dfrac{z}{y} – \dfrac{2y}{z} \\
y^3 = \dfrac{x}{z} – \dfrac{2z}{x} \\
z^3 = \dfrac{y}{x} – \dfrac{2x}{y}
\end{cases}
\]

[Galin Totev]

Намерете най-голямата стойност на израза:
\[
\left|\sqrt{x^2 + 4x + 8} – \sqrt{x^2 + 8x + 17}\right|,\quad \text{където } x \in \mathbb{R}.
\]

[Galin Totev]

Докажете, че за всички положителни реални числа \(a\) и \(b\), за които \(ab \geq 1\), е изпълнено неравенството:
\[
\left(a + 2b + \dfrac{2}{a+1} \right) \left( b + 2a + \dfrac{2}{b+1} \right) \geq 16
\]