Комбинаторика

[Galin Totev]

На дъската са записани няколко реални числа (най-малко две). При всяка стъпка избираме две от тях, например \( a \) и \( b \), и ги заместваме с числото
\[
\frac{ab}{a+b}.
\]
Продължаваме да повтаряме тази операция, докато на дъската остане само едно число. Докажете, че крайният резултат не зависи от реда, в който избираме числата за заместване.

[Galin Totev]

В страна с \( n \) града всички директни полети са двупосочни (от град \( A \) до град \( B \) и обратно). Има \( r > 2014 \) маршрути между различни двойки градове, които съдържат най-много един междинен престой (насоката на всеки маршрут има значение).

Намерете минималната възможна стойност на \( n \) и минималната възможна стойност на \( r \) за тази стойност на \( n \).

[Galin Totev]

За положително цяло число \( n \), двама играчи \( A \) и \( B \) играят следната игра: Дадена е купчина с \( s \) камъни, като играчите се редуват, започвайки с \( A \). На всеки ход играчът може да вземе или един камък, или просто просто число камъни, или положителен кратен на \( n \) брой камъни. Печели този, който вземе последния камък.

При условие, че и двамата играчи играят перфектно, за колко стойности на \( s \) играчът \( A \) няма да може да спечели?

[Galin Totev]

Нека
\[
A = 1 \cdot 4 \cdot 7 \cdots 2014
\]
(т.е. произведението на всички числа от вида \(3k + 1\), по-малки или равни на 2014). Намерете последната ненулева цифра на \(A\), като е известно, че \(A \equiv 1 \pmod{3}\).