Комбинаторика

[Galin Totev]

Дъска $n \times n$ ($n \geq 3$) е разделена на $n^2$ единични квадрата. Цели числа от $0$ до $n$ включително са записани, по едно число във всеки единичен квадрат, така че сумите на числата във всеки квадрат $2 \times 2$ на дъската са различни. Намерете всички $n$, за които съществуват такива дъски.

[Galin Totev]

Дадени са $2015$ точки в равнина, такива че от всякакви пет точки можем да изберем две точки с разстояние по-малко от $1$ единица. Докажете, че $504$ от дадените точки лежат в кръг с радиус 1.

[Galin Totev]

Цели положителни числа са поставени в следната таблица:

\[
\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline
1 & 3 & 6 & 10 & 15 & 21 & 28 & 36 & & \\ \hline
2 & 5 & 9 & 14 & 20 & 27 & 35 & 44 & & \\ \hline
4 & 8 & 13 & 19 & 26 & 34 & 43 & 53 & & \\ \hline
7 & 12 & 18 & 25 & 33 & 42 & & & & \\ \hline
11 & 17 & 24 & 32 & 41 & & & & & \\ \hline
16 & 23 & & & & & & & & \\ \hline
\vdots & & & & & & & & & \\ \hline
\vdots & & & & & & & & & \\ \hline
\end{array}
\]

Намерете номера на реда и колоната, където се намира числото $2015$.

[Galin Totev]

Нека $n \geq 1$ е цяло положително число. Квадрат със страна с дължина $n$ е разделен чрез линии, успоредни на всяка страна, на $n^2$ квадрата със страна с дължина $1$. Намерете броя на успоредниците, които имат върхове сред върховете на $n^2$-те квадрата със страна с дължина $1$, с дължини на страните, по-малки или равни на $2$, и които имат площ, равна на $2$.

[Galin Totev]

L-образна фигура е една от следните четири части, всяка състояща се от три единични квадрата:

Дадена е дъска $5 \times 5$, състояща се от $25$ единични квадрата, цяло положително число $k \leq 25$ и неограничен брой L-образни фигури. Двама играчи, А и Б, играят следната игра: започвайки с А, те последователно отбелязват неотбелязан единичен квадрат, докато общо отбележат $k$ единични квадрата.

Казваме, че разполагане на L-образни фигури върху неотбелязаните единични квадрати е добро, ако L-образните фигури не се припокриват и всяка от тях покрива точно три неотбелязани единични квадрата на дъската.

Играч Б печели, ако всяко добро разполагане на L-образни фигури оставя непокрити поне три неотбелязани единични квадрата. Определете минималната стойност на $k$, за която Б има печеливша стратегия.