Теория на Числата

[Galin Totev]

Намерете максималния брой естествени числа \(x_1, x_2, \dots, x_m\), които удовлетворяват следните условия:

1. Нито една разлика \(x_i – x_j\), за \(1 \leq i < j \leq m\), не се дели на \(11\).
2. Сумата
   \[
   x_2 x_3 \dots x_m + x_1 x_3 \dots x_m + \cdots + x_1 x_2 \dots x_{m-1}
   \]
   се дели на \(11\).

[Galin Totev]

Намерете всички положителни цели числа \(n\), за които числото
\[
A_n = \frac{2^{4n+2} + 1}{65}
\]
е:
a) цяло число,
b) просто число.

[Galin Totev]

Намерете всички тройки цели числа \((a, b, c)\), такива че числото
\[
N = \frac{(a – b)(b – c)(c – a)}{2} + 2
\]
е степен на \(2016\).

(Степен на \(2016\) е цяло число от вида \(2016^n\), където \(n\) е неотрицателно цяло число.)

[Galin Totev]

Определете всички четирицифрени числа \(\overline{abcd}\), такива че
\[
(a + b)(a + c)(a + d)(b + c)(b + d)(c + d) = \overline{abcd}.
\]

[Galin Totev]

Определете най-голямото положително цяло число \( n \), което дели \( p^6 – 1 \) за всяко просто число \( p > 7 \).