Задача 1. Съществува ли полином \(P \in ℝ[x]\), за който \[P\left(\frac{1}{k}\right)=\frac{1}{2k+1}\] за всяко естествено число $k$?
Задача 2. Да се намерят всички полиноми $P\in ℝ[x]$, за които \[P(P(x))=\left\lfloor (P(x))^2\right\rfloor,\forall x\in ℤ.\]
Задача 3. Нека $n$ е четно естествено число и $P$ е моничен полином с реални коефициенти от степен $2n$. Оказало се, че за всяко цяло число $k$, за което $1\leq\vert k\vert\leq n$, е вярно, че $P(\frac{1}{k})=k^2$. Намерете всички реални $x\neq0$, за които $P(\frac{1}{x})=x^2$.
Забележка. Полином се нарича моничен, ако старшият му коефициент е равен на 1.
Задача 4. Нека $n\geq2$ е естествено число. Моничният полином $P\in ℝ[x]$ от степен $n$ е такъв, че \[P(1)=2,~P(2)=3,\dots,~P(n-1)=n,~P(n)=1.\] Да се намери на колко е равно $P(0)$.
Задача 5. а)Съществуват ли полиноми $P,Q,R$ на три променливи с реални коефициенти, за които \[(x+2018y+2019z)^2\cdot P+(x+2019y+2018z)^2\cdot Q+(x+y+z+2019)^2\cdot R=2019^2\] за всеки три реални числа $x,y,z$?
б)Съществуват ли полиноми $A,B,C$ на две променливи с реални коефициенти такива, че \[(x+y+2019)^2\cdot A+x^2\cdot B+y^2\cdot C = 2019^2\] за всеки две реални числа $x,y$?
Задача 6. Дадено е реално число $k$. Да се намерят всички полиноми $P\in ℝ[x]$ такива, че за всяко реално $x$ е в сила \[(x+1)P(x-1)-(x-1)P(x)=k.\]
Задача 7. Да се намерят всички полиноми $P\in ℝ[x]$ такива, че за всяко реално число $x$ \[(x+1)P(x-1)+(x-1)P(x+1)=2xP(x).\]
Започната от:
- Публикации
Задача 1. Съществува ли полином \(P \in ℝ[x]\), за който \[P\left(\frac{1}{k}\right)=\frac{1}{2k+1}\] за всяко естествено число $k$?
Задача 2. Да се намерят всички полиноми $P\in ℝ[x]$, за които \[P(P(x))=\left\lfloor (P(x))^2\right\rfloor,\forall x\in ℤ.\]
Задача 3. Нека $n$ е четно естествено число и $P$ е моничен полином с реални коефициенти от степен $2n$. Оказало се, че за всяко цяло число $k$, за което $1\leq\vert k\vert\leq n$, е вярно, че $P(\frac{1}{k})=k^2$. Намерете всички реални $x\neq0$, за които $P(\frac{1}{x})=x^2$.
Забележка. Полином се нарича моничен, ако старшият му коефициент е равен на 1.
Задача 4. Нека $n\geq2$ е естествено число. Моничният полином $P\in ℝ[x]$ от степен $n$ е такъв, че \[P(1)=2,~P(2)=3,\dots,~P(n-1)=n,~P(n)=1.\] Да се намери на колко е равно $P(0)$.
Задача 5. а)Съществуват ли полиноми $P,Q,R$ на три променливи с реални коефициенти, за които \[(x+2018y+2019z)^2\cdot P+(x+2019y+2018z)^2\cdot Q+(x+y+z+2019)^2\cdot R=2019^2\] за всеки три реални числа $x,y,z$?
б)Съществуват ли полиноми $A,B,C$ на две променливи с реални коефициенти такива, че \[(x+y+2019)^2\cdot A+x^2\cdot B+y^2\cdot C = 2019^2\] за всеки две реални числа $x,y$?
Задача 6. Дадено е реално число $k$. Да се намерят всички полиноми $P\in ℝ[x]$ такива, че за всяко реално $x$ е в сила \[(x+1)P(x-1)-(x-1)P(x)=k.\]
Задача 7. Да се намерят всички полиноми $P\in ℝ[x]$ такива, че за всяко реално число $x$ \[(x+1)P(x-1)+(x-1)P(x+1)=2xP(x).\]
- Трябва да влезете в профила си, за да отговорите в темата.
