Комбинаторика

[Galin Totev]

В Математическия град има безкрайно много автобуси и безкрайно много станции. Станциите са индексирани от степените на $2: 1, 2, 4, 8, 16, \dots$. Всеки автобус минава през крайно много станции, а номерът на автобуса е сумата от всички станции, през които минава. За опростяване, кметът на Математическия град желае номерата на автобусите да формират аритметична прогресия с разлика \( r \) и първи член, който е любимото число на кмета. За кои положителни цели числа \( r \) винаги е възможно, независимо от любимото число на кмета, за всяко дадено \( m \) станции, да има автобус, преминаващ през всичките тях?

[Galin Totev]

Нека \( n \) бъде положително цяло число. Дадена е дъска \( 3n \times 3n \), чиито единични квадрати са оцветени в черно и бяло по начин, такъв че започвайки от най-левия горен квадрат, всеки трети диагонал е оцветен в черно, а останалата част от дъската е в бяло. В един ход може да се вземе квадрат \( 2 \times 2 \) и да се промени цветът на всичките му квадрати, така че белите квадрати да станат оранжеви, оранжевите да станат черни, а черните да станат бели. Намерете всички \( n \), за които, използвайки краен брой ходове, можем да направим всички квадрати, които първоначално са черни, бели, а всички квадрати, които първоначално са бели, черни.

[Galin Totev]

Имаме комплект от 343 затворени буркани, като всеки съдържа сини, жълти и червени топчета, като броят на топчетата от всеки цвят е поне 1 и най-много 7. Няма два буркана с точно същото съдържание. Първоначално всички буркани са с капачките нагоре. Да се обърне буркан означава да се промени позицията му от капачка-нагоре към капачка-надолу или обратно. Позволено е да се избере тройка положителни цели числа \( (b; y; r) \in \{1; 2; \dots; 7\}^3 \) и да се обърнат всички буркани, чиито брой сини, жълти и червени топчета се различават с най-много 1 от съответно \( b, y, r \). След \( n \) хода всички буркани се оказват с капачките надолу. Намерете броя на всички възможни стойности на \( n \), ако \( n \leq 2021 \).

[Galin Totev]

Алиса и Боб играят игра заедно като екип на дъска с размери \( 100 \times 100 \), като всички единични квадрати първоначално са бели. Алиса настройва играта като оцветява точно \( k \) от единичните квадрати в червено в началото. След това, законен ход за Боб е да избере ред или колона с поне 10 червени квадрати и да оцвети всички останали квадрати в него в червено. Какво е най-малкото \( k \), така че Алиса да може да настрои играта по такъв начин, че Боб да може да оцвети цялата дъска в червено след краен брой ходове?

[Galin Totev]

Нека \( M \) бъде подмножество на множеството от 2021 цели числа \( \{1, 2, 3, \dots, 2021\} \), така че за всякакви три елемента (не непременно различни) \( a, b, c \) от \( M \) имаме \( |a + b – c| > 10 \). Определете най-голямото възможно количество елементи на \( M \).

[Galin Totev]

Дадена е таблица с размери \( m \times n \), състояща се от \( mn \) единични клетки. Алиса и Боб играят следната игра: Алиса започва първа и всеки ход тя оцветява една от празните клетки в един от трите дадени цвята. Алиса печели, ако се формира фигура, подобна на показаните по-долу, съдържаща три различни цвята. В противен случай Боб печели. Определете победителя за всички случаи, когато \( m, n \ge 3 \).