Геометрия

[Galin Totev]

Около триъгълник $ABC$ е описана окръжност, и в точка $A$ е прекарана допирателна към тази окръжност. Права $\ell$, която е успоредна на тази допирателна, пресича правите $AB$ и $AC$ съответно в точките $P$ и $Q$. Докажете, че точките $B$, $C$, $P$ и $Q$ принадлежат на една и съща окръжност.

[Galin Totev]

Точката $P$ е извън окръжността $\omega$. Допирателните, преминаващи през точката $P$, докосват окръжността в точките $A$ и $B$. Медианата $PM$ на отсечката $AB$ пресича окръжността в точката $M$, а правата $AM$ пресича отново окръжността в точката $N$. Докажете, че правите $PN$ и $AB$ са успоредни.

[Galin Totev]

Нека $\omega$ е окръжност с център $O$ и радиус $R$, и $A$, $B$ са две точки на нея, непринадлежащи на един диаметър. Ъглополовящата на ъгъл $\angle AOB$ пресича окръжността в точката $C$, описаната окръжност на триъгълника $OAC$ (нека я означим с $\Gamma_1$) в точката $P$, а описаната окръжност на триъгълника $OBC$ (нека я означим с $\Gamma_2$) в точката $Q$. Докажете, че точката $P$ лежи на описаната окръжност на триъгълника $ABC$ и че точката $Q$ е центърът на вписаната окръжност на триъгълника $ABC$.

[Galin Totev]

Нека $ABC$ е остроъгълен триъгълник. Правите $\ell_1$ и $\ell_2$ са перпендикулярни на $BC$ съответно в точките $D$ и $E$. Перпендикулярните прави от средата на $BC$ към правите $\ell_1$ и $\ell_2$ пресичат $AB$ и $AC$ съответно в точките $P$ и $Q$. Ако $R$ е пресечната точка на правите $AP$ и $AQ$, докажете, че $AR \perp BC$.

[Galin Totev]

Нека $ABC$ е остроъгълен триъгълник с $AB \neq AC$. Вписаната окръжност на триъгълника докосва страните $AB$ и $AC$ съответно в $D$ и $E$. Перпендикулярът, от $D$ към $AB$, пресича $AC$ в $P$, а перпендикулярът, от $E$ към $AC$, пресича $AB$ в $Q$. Правата $DP$ пресича отново вписаната окръжност в $X$, а правата $EQ$ пресича отново вписаната окръжност в $Y$. Докажете, че $XY \parallel BC$.