Геометрия

[Galin Totev]

Нека \( ABC \) е правоъгълен триъгълник с \( \angle A = 90^\circ \) и \( \angle B = 30^\circ \). Нека \( M \) е средата на \( BC \), симетралата на \( BC \)  се пресича със ъглополовящата \( BK \) на ъгъла \( B \) в точка \( E \). Симетралата на отсечката \( EK \) се пресича с \( AB \) в точка \( D \). Докажете, че \( KD \) е перпендикулярна на \( DE \).

[Galin Totev]

Нека \( ABC \) е триъгълник с описана окръжност \( \omega \). Нека \( l_B \) и \( l_C \) са две прави, минаващи съответно през точките \( B \) и \( C \), такива че \( l_B \parallel l_C \). Вторите пресечни точки на \( l_B \) и \( l_C \) с \( \omega \) са съответно \( D \) и \( E \). Да предположим, че \( D \) и \( E \) са от същата страна на \( BC \) като \( A \). Нека \( DA \) пресича \( l_C \) в \( F \), а \( EA \) пресича \( l_B \) в \( G \). Ако \( O \), \( O_1 \) и \( O_2 \) са центровете на описаните окръжности на триъгълниците \( ABC \), \( ADG \) и \( AEF \), съответно, и \( P \) е центърът на описаната окръжност на триъгълника \( OO_1O_2 \), докажете, че \( l_B \parallel OP \parallel l_C \).

[Galin Totev]

Нека \( ABC \) е триъгълник с център на вписаната окръжност \( I \). Точките \( D \) и \( E \) лежат съответно на отсечките \( CA \) и \( BC \), така че \( CD = CE \). Нека \( F \) е точка на отсечката \( CD \). Докажете, че четириъгълникът \( ABEF \) е описан тогава и само тогава, когато четириъгълникът \( DIEF \) е вписан.

[Galin Totev]

Триъгълник \( ABC \) е такъв, че \( AB < AC \). Симетралата на страната \( BC \) пресича правите \( AB \) и \( AC \) съответно в точките \( P \) и \( Q \). Нека \( H \) е ортоцентърът на триъгълника \( ABC \), а \( M \) и \( N \) са средите съответно на отсечките \( BC \) и \( PQ \). Докажете, че правите \( HM \) и \( AN \) се пресичат върху описаната окръжност на \( ABC \).

[Galin Totev]

Нека \( P \) е точка във вътрешността на триъгълник \( ABC \). Правите \( AP \), \( BP \) и \( CP \) пресичат отново описаните окръжности на триъгълниците \( PBC \), \( PCA \) и \( PAB \) съответно в точките \( D \), \( E \) и \( F \). Докажете, че \( P \) е ортоцентър на триъгълника \( DEF \) тогава и само тогава, когато \( P \) е център на вписаната окръжност на триъгълника \( ABC \).

[Galin Totev]

Нека \( ABC \) е правоъгълен триъгълник с \( \angle A = 90^\circ \). Нека \( K \) е средата на \( BC \), и нека \( AKLM \) е успоредник, на който диагоналите се пресичат в \( C \). Нека \( T \) е пресечната точка на правите \( AC \) и симетралата на \( BM \). Нека \( \omega_1 \) е окръжност с център \( C \) и радиус \( CA \), а \( \omega_2 \) е окръжност с център \( T \) и радиус \( TB \). Докажете, че една от пресечните точки на \( \omega_1 \) и \( \omega_2 \) лежи на правата \( LM \).

[Galin Totev]

Нека \( ABC \) е триъгълник, който не е равнобедрен, с център на вписаната окръжност \( I \). Нека \( D \) е точка на отсечката \( BC \), такава че описаната окръжност на \( BID \) пресича отсечката \( AB \) в \( E \neq B \), а описаната окръжност на \( CID \) пресича отсечката \( AC \) в \( F \neq C \). Описаната окръжност на \( DEF \) пресича \( AB \) и \( AC \) във вторите точки \( M \) и \( N \), съответно. Нека \( P \) е пресечната точка на правите \( IB \) и \( DE \), а \( Q \) е пресечната точка на правите \( IC \) и \( DF \). Докажете, че трите прави \( EN \), \( FM \) и \( PQ \) са успоредни.