Алгебра

[Galin Totev]

Намерете всички наредени двойки положителни цели числа \((a, b)\), за които е изпълнено неравенството:
\[
11ab \leq a^3 – b^3 \leq 12ab.
\]

[Galin Totev]

Нека \(x, y, z\) са положителни реални числа, такива че \(xy + yz + zx = 3\). Докажете, че:
\[
\frac{x + 3}{y + z} + \frac{y + 3}{z + x} + \frac{z + 3}{x + y} + 3 \ge 27 \cdot \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})^2}{(x + y + z)^3}.
\]

[Galin Totev]

Нека \(a, b, c\) са положителни реални числа, такива че \(a + b + c = 1\). Докажете неравенството:
\[
a \sqrt[3]{\frac{b}{a}} + b \sqrt[3]{\frac{c}{b}} + c \sqrt[3]{\frac{a}{c}} \le ab + bc + ca + \frac{2}{3}.
\]

[Galin Totev]

Нека \(a, b, c\) са положителни реални числа, такива че
\[
a + b + c \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}.
\]
Намерете най-голямата възможна стойност на израза:
\[
\frac{a + b – c}{a^3 + b^3 + abc} + \frac{b + c – a}{b^3 + c^3 + abc} + \frac{c + a – b}{c^3 + a^3 + abc}.
\]

[Galin Totev]

На дъска са написани числата \(2, 2, \ldots, 2\) (числото \(2\) е записано общо \(n\) пъти). Една стъпка се състои в това да изберем две числа от дъската, да ги означим с \(a\) и \(b\), и да ги заменим с числото \(\sqrt{\frac{ab + 1}{2}}\).

(a) Нека \(x\) е числото, което остава на дъската след прилагане на операцията \(n – 1\) пъти. Докажете, че
\[
x \ge \sqrt{\frac{n + 3}{n}}.
\]

(b) Докажете, че съществуват безкрайно много стойности на \(n\), за които се постига равенство, както и безкрайно много такива, за които неравенството е строго.

[Galin Totev]

Нека \(a, b, c\) са положителни реални числа, такива че \(a^2 + b^2 + c^2 = 3\). Докажете, че:
\[
\frac{a^2 + b^2}{2ab} + \frac{b^2 + c^2}{2bc} + \frac{c^2 + a^2}{2ca} + \frac{2(ab + bc + ca)}{3} \ge 5 + |(a – b)(b – c)(c – a)|.
\]