На дъска са написани числата \(2, 2, \ldots, 2\) (числото \(2\) е записано общо \(n\) пъти). Една стъпка се състои в това да изберем две числа от дъската, да ги означим с \(a\) и \(b\), и да ги заменим с числото \(\sqrt{\frac{ab + 1}{2}}\).
(a) Нека \(x\) е числото, което остава на дъската след прилагане на операцията \(n – 1\) пъти. Докажете, че
\[
x \ge \sqrt{\frac{n + 3}{n}}.
\](b) Докажете, че съществуват безкрайно много стойности на \(n\), за които се постига равенство, както и безкрайно много такива, за които неравенството е строго.
Започната от:
- Публикации
На дъска са написани числата \(2, 2, \ldots, 2\) (числото \(2\) е записано общо \(n\) пъти). Една стъпка се състои в това да изберем две числа от дъската, да ги означим с \(a\) и \(b\), и да ги заменим с числото \(\sqrt{\frac{ab + 1}{2}}\).
(a) Нека \(x\) е числото, което остава на дъската след прилагане на операцията \(n – 1\) пъти. Докажете, че
\[
x \ge \sqrt{\frac{n + 3}{n}}.
\](b) Докажете, че съществуват безкрайно много стойности на \(n\), за които се постига равенство, както и безкрайно много такива, за които неравенството е строго.
- Форумът ‘ Алгебра’ е затворен за нови теми и отговори.
