Теория на Числата

[Galin Totev]

Съществува ли естествено число \( n \), за което \( 8^n + 47 \) е просто число?

[Galin Totev]

Намерете всички положителни цели числа \( a \), \( b \), \( c \) и \( p \), където \( p \) е просто число, така че

\[
73p^2 + 6 = 9a^2 + 17b^2 + 17c^2.
\]

[Galin Totev]

Намерете най-голямото цяло число \( k \) (\( k \ge 2 \)), за което съществува цяло число \( n \) (\( n \ge k \)), така че от всяка колекция от \( n \) последователни положителни цели числа винаги може да се изберат \( k \) числа, които удовлетворяват следните условия:

• всяко избрано число не е делимо на \( 6 \), \( 7 \) и \( 8 \);
• положителната разлика на всяко две различни избрани числа не е делима поне с едно от числата \( 6 \), \( 7 \) и \( 8 \).

[Galin Totev]

Намерете всички прости числа \( p \), така че

\[
(x + y)^{19} – x^{19} – y^{19}
\]

да е кратно на \( p \) за всякакви положителни цели числа \( x \) и \( y \).

[Galin Totev]

Нека положителното цяло число \( k \) и множеството \( A \) от различни цели числа от \( 1 \) до \( 3k \) включително бъдат такива, че няма различни \( a \), \( b \), \( c \) в \( A \), за които да е изпълнено \( 2b = a + c \). Числата от \( A \) в интервала \( [1, k] \) ще се наричат малки; тези в \( [k + 1, 2k] \) – средни, а тези в \( [2k + 1, 3k] \) – големи. Винаги е вярно, че няма положителни цели числа \( x \) и \( d \), така че ако \( x \), \( x + d \) и \( x + 2d \) се делят на \( 3k \), остатъците от тях да принадлежат на \( A \), като остатъците на \( x \) и \( x + d \) са различни и са:

• малки?
• средни?
• големи?

[Galin Totev]

Съществуват ли положителни цели числа \( m \) и \( n \), които удовлетворяват уравнението

\[
m^3 = 9n^4 + 170n^2 + 289 \, ?
\]

[Galin Totev]

Докажете, че не съществува просто число \( p \), такова че всяка негова степен е палиндром (палиндром е число, което се чете еднакво отляво надясно и отдясно наляво; в частност, число, което завършва на една или повече нули, не може да бъде палиндром).

[Galin Totev]

Намерете всички прости числа \( p \) и \( q \), за които изразът
\[
1 + \frac{p^q – q^p}{p + q}
\]
е просто число.