Алгебра

[Galin Totev]

Нека \(x, y, z\) са положителни реални числа. Докажете, че: \[ \frac{x}{\sqrt{\sqrt[4]{y} + \sqrt[4]{z}}} + \frac{y}{\sqrt{\sqrt[4]{z} + \sqrt[4]{x}}} + \frac{z}{\sqrt{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}}} \geq \frac{\sqrt[4]{(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})^7}}{\sqrt{2\sqrt{27}}} \]

[Galin Totev]

Нека \( m, n \) са положителни цели числа, такива че \( m^3 + n^3 > (m + n)^2 \). Намерете най-голямото положително цяло число \( k \), такова че: \[ m^3 + n^3 \geq (m + n)^2 + k \]

[Galin Totev]

Нека \( a, b, c \) са положителни реални числа. Докажете, че: \[ \frac{1}{ab(b+1)(c+1)} + \frac{1}{bc(c+1)(a+1)} + \frac{1}{ca(a+1)(b+1)} \geq \frac{3}{(1 + abc)^2}. \]

[Galin Totev]

Нека \( k > 1, n > 2018 \) са положителни цели числа и \( n \) е нечетно. Ненулевите рационални числа \( x_1, x_2, \ldots, x_n \), които не са всички равни, удовлетворяват: \[ x_1 + \frac{k}{x_2} = x_2 + \frac{k}{x_3} = x_3 + \frac{k}{x_4} = \ldots = x_{n-1} + \frac{k}{x_n} = x_n + \frac{k}{x_1}. \] Намерете:

1. произведението \( x_1 x_2 \ldots x_n \) като функция на \( k \) и \( n \);
2. най-малката стойност на \( k \), такава че да съществуват \( n, x_1, x_2, \ldots, x_n \), удовлетворяващи дадените условия.

[Galin Totev]

Нека \( a, b, c, d \) и \( x, y, z, t \) са реални числа, такива че:

1. \( 0 \leq a, b, c, d \leq 1 \),
2. \( x, y, z, t \geq 1 \),
3. \( a + b + c + d + x + y + z + t = 8 \).

Докажете, че:
\[
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + x^2 + y^2 + z^2 + t^2 \leq 28.
\]

[Galin Totev]

Нека \( a, b, c \) са положителни реални числа, такива че:

1. \( ab + bc + ca = 3 \).

Докажете, че:
\[
\frac{a}{\sqrt{a^3 + 5}} + \frac{b}{\sqrt{b^3 + 5}} + \frac{c}{\sqrt{c^3 + 5}} \leq \frac{\sqrt{6}}{2}.
\]

[Galin Totev]

Нека \( A \) е множество от положителни цели числа, удовлетворяващо следните условия:

1. Ако \( n \in A \), тогава \( n \leq 2018 \).
2. Ако \( S \subset A \) е такова, че \( |S| = 3 \), тогава съществуват \( m, n \in S \), такива че \( |n – m| \geq \sqrt{n} + \sqrt{m} \).

Каква е максималната мощност на \( A \)?