Геометрия

[Galin Totev]

Нека \( H \) е ортоцентърът на остроъгълен триъгълник \( ABC \) с \( BC > AC \), вписан в окръжност \( \Gamma \). Окръжността с център \( C \) и радиус \( CB \) пресича \( \Gamma \) в точка \( D \), която лежи на дъгата \( AB \), която не съдържа \( C \). Окръжността с център \( C \) и радиус \( CA \) пресича отсечката \( CD \) в точка \( K \). Правата, успоредна на \( BD \), преминаваща през \( K \), пресича \( AB \) в точка \( L \). Ако \( M \) е средата на \( AB \) и \( N \) е основата на перпендикуляра от \( H \) към \( CL \), докажете, че правата \( MN \) разполовява отсечката \( CH \).

[Galin Totev]

Нека \( ABC \) е правоъгълен триъгълник с \( \angle A = 90^\circ \) и \( AD \) е неговата височина. Правите от \( D \) успоредни на катетите на триъгълника, които пресичат \( AB \) и \( AC \) съответно в точки \( E \) и \( Z \). Успоредната права от \( C \) на \( EZ \) пресича правата \( AB \) в точка \( N \). Нека \( A’ \) е симетричната точка на \( A \) спрямо правата \( EZ \), а \( I \) и \( K \) са проекциите на \( A’ \) съответно върху \( AB \) и \( AC \). Ако \( T \) е пресечната точка на правите \( IK \) и \( DE \), докажете, че \( \angle NA’T = \angle ADT \).

[Galin Totev]

Нека \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) са симетричните точки на върховете \(A\), \(B\) и \(C\) съответно спрямо срещулежащите им страни. Пресечната точка на описаните окръжности за \( \triangle BCA_1 \) и \( \triangle CAB_1 \) е \(P_C\). Точките \(P_A\) и \(P_B\) са дефинирани по аналогичен начин. Докажете, че правите \(AP_A\), \(BP_B\) и \(CP_C\) се пресичат в една точка.

[Galin Totev]

Нека \( \triangle ABC \) е триъгълник със страни \( a, b, c \), вписан в окръжност с радиус \( R \), и нека \( I \) е неговият център на вписаната окръжност. Нека \( P_1, P_2 \) и \( P_3 \) са лицата на триъгълниците \( \triangle ABI, \triangle BCI \) и \( \triangle CAI \), съответно. Докажете, че:
\[
\frac{R^4}{P_1^2} + \frac{R^4}{P_2^2} + \frac{R^4}{P_3^2} \geq 16.
\]

[Galin Totev]

Нека \(ABCD\) е правоъгълник с \(AB = b > 2a = BC\). Нека \(E\) е средата на отсечката \(AD\). През точка \(E\), по права успоредна на \(AB\), е избрана точка \(G\) така, че лицето на триъгълника \(GCE\) е:
\[
S_{GCE} = \frac{1}{2} \left(\frac{a^3}{b} + ab \right).
\]
Нека \(H\) е петата на перпендикуляра от \(E\) към правата \(GD\), а точка \(I\) лежи върху диагонала \(AC\), така че триъгълниците \(ACE\) и \(AEI\) са подобни. Нека правите \(BH\) и \(IE\) се пресичат в точка \(K\), а правите \(CA\) и \(EH\) се пресичат в точка \(J\).

Да се докаже, че \(KJ \perp AB\).

[Galin Totev]

Нека \(XY\) е хорда на окръжност \( \Omega \) с център \(O\), която не е диаметър. Нека \(P\) и \(Q\) са две различни точки от вътрешността на отсечката \(XY\), като \(Q\) лежи между \(P\) и \(X\). Нека \( \ell \) е перпендикулярната права, спусната от точка \(P\) към диаметъра, който минава през точка \(Q\). Нека \(M\) е пресечната точка на \( \ell \) с окръжността \( \Omega \), която е по-близо до точка \(P\).

Да се докаже, че:
\[
MP \cdot XY \ge 2 \cdot QX \cdot PY.
\]