Геометрия

[Galin Totev]

Нека \( ABCDE \) бъде вписан петоъгълник, такъв че \( BC = DE \) и \( AB \) е успоредно на \( DE \). Нека \( X, Y \) и \( Z \) бъдат средите на отсечките \( BD, CE \) и \( AE \) съответно. Докажете, че \( AE \) е допирателна към описаната окръжност на триъгълника \( XYZ \).

[Galin Totev]

Нека \( ABC \) бъде триъгълник с описана окръжност \( k \). Точките \( A_1, B_1 \) и \( C_1 \) върху \( k \) са средите на дъги \( \widehat{BC} \) (не съдържаща \( A \)), \( \widehat{AC} \) (не съдържаща \( B \)) и \( \widehat{AB} \) (не съдържаща \( C \)) съответно. Нека \( A_2, B_2 \) и \( C_2 \) са различни точки, така че четириъгълниците \( AB_1A_2C_1, BA_1B_2C_1 \) и \( CA_1C_2B_1 \) да са успоредници. Докажете, че \( k \) и описаната окръжност на триъгълника \( A_2B_2C_2 \) имат общ център.

[Galin Totev]

Нека \( ABC \) бъде остроъгълен триъгълник, такъв че \( AH = HD \), където \( H \) е ортоцентъра на триъгълника \( ABC \), а \( D \in BC \) е петата на височината от върха \( A \). Нека \( \ell \) е правата през \( H \), която е допирателна към описаната окръжност на триъгълника \( BHC \). Нека \( S \) и \( T \) са пресечните точки на \( \ell \) с \( AB \) и \( AC \) съответно. Нека \( M \) и \( N \) са средите на отсечките \( BH \) и \( CH \) съответно. Докажете, че правите \( SM \) и \( TN \) са успоредни.

[Galin Totev]

Даден е равнобедрен триъгълник \( ABC \) и произволна точка, означена с \( E \), на отсечката \( BC \). Нека \( l \) е правата през \( A \), успоредна на \( BC \), и нека \( K \) е точката на \( l \), така че \( KE \) е перпендикулярна на \( BC \). Окръжността с център \( K \) и радиус \( KE \) пресича страните \( AB \) и \( AC \) в точките \( M \) и \( N \) съответно. Правата, перпендикулярна на \( AB \) в точка \( M \), пресича \( l \) в точка \( D \), а правата, перпендикулярна на \( AC \) в точка \( N \), пресича \( l \) в точка \( F \). Докажете, ъглополовящите на \( MDA \) и \( NFA \) се пресичат върху правата \( KE \).

[Galin Totev]

Даден е остроъгълен триъгълник \( ABC \) с ортоцентър \( H \) и описана окръжност \( k \). Нека \( \omega \) е окръжността с диаметър \( AH \), а \( P \) е втората обща точка на \( \omega \) и \( k \), различна от \( A \). Нека \( BP \) и \( CP \) пресичат \( \omega \) за втори път в точки \( Q \) и \( R \) съответно. Ако \( D \) е петата на перпендикуляра от \( A \) към \( BC \), а \( S \) е пресечната точка на \( \omega \) и \( QD \), докажете, че \( HR = HS \).

[Galin Totev]

Нека \( ABC \) е правоъгълен триъгълник с хипотенуза \( BC \). Допирателната към описаната окръжност на триъгълник \( ABC \) в точка \( A \) пресича правата \( BC \) в точка \( T \). Точките \( D \) и \( E \) са избрани така, че \( AD = BD \), \( AE = CE \), и \( \angle CBD = \angle BCE < 90^{\circ} \). Докажете, че точките \( D \), \( E \) и \( T \) лежат на една права.