Алгебра

[Galin Totev]

Докажете, че за всички положителни реални числа \(a, b, c, d\),

\[
\frac{2}{(a+b)(c+d) + (b+c)(a+d)} \leq \frac{1}{(a+c)(b+d) + 4ac} + \frac{1}{(a+c)(b+d) + 4bd}
\]

и определете кога се достига равенство.

[Galin Totev]

За положителни реални числа \(x, y, z\) с \(xy + yz + zx = 1\), докажете, че

\[
\frac{2}{xyz} + 9xyz \geq 7(x + y + z)
\]

и определете кога се достига равенство.

[Galin Totev]

За всички неотрицателни реални числа \(x, y, z\), които не са едновременно равни на \(0\), докажете, че е в сила следното неравенство

\[
\frac{2x^2 – x + y + z}{x + y^2 + z^2} + \frac{2y^2 + x – y + z}{x^2 + y + z^2} + \frac{2z^2 + x + y – z}{x^2 + y^2 + z} \geq 3.
\]

Определете всички тройки \((x, y, z)\), за които равенството е в сила.

[Galin Totev]

Нека \(a, b, c, d\) са положителни реални числа с \(abcd = 1\). Докажете, че

\[
\sqrt{\frac{a}{b + c + d^2 + a^3}} + \sqrt{\frac{b}{c + d + a^2 + b^3}} + \sqrt{\frac{c}{d + a + b^2 + c^3}} + \sqrt{\frac{d}{a + b + c^2 + d^3}} \leq 2
\]

и определете кога се достига равенство.

[Galin Totev]

Нека \(a \geq b \geq 1 \geq c \geq 0\) са реални числа, такива че \(a + b + c = 3\). Покажете, че

\[
3 \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) \geq 4c^2 + \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{a}
\]

и определете кога се достига равенство.

[Galin Totev]

Намерете максималната константа \(C\), такава че за всяка редица от положителни реални числа \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\), удовлетворяваща \(a_{n+1} – a_n = a_n (a_n + 1)(a_n + 2)\), да е изпълнено

\[
\frac{a_{2023} – a_{2020}}{a_{2022} – a_{2021}} > C.
\]

[Galin Totev]

Нека \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{250}\) са реални числа, такива че \(a_1 = 2\) и

\[
a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n^2}
\]

за всяко \(n = 1, 2, \ldots, 249\). Нека \(x\) е най-голямото цяло число, което е по-малко от

\[
\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_{250}}.
\]

Колко цифри има \(x\)?