Геометрия

[Galin Totev]

Нека \( \triangle ABC \) е триъгълник с
\[
m(\angle B) = m(\angle C) = 40^\circ.
\]
Ъглополовящата на ъгъл \( B \) пресича страната \( AC \) в точка \( D \). Докажете, че:
\[
BD + DA = BC.
\]

[Galin Totev]

Нека \( \triangle ABC \) е остроъгълен триъгълник с \( AB < AC < BC \) и \( c(O,R) \) е описаната около него окръжност. Начертани са диаметри \( BD \) и \( CE \) на окръжността \( c \).Окръжността \( c_1(A, AE) \), с център в \( A \) и радиус \( AE \), пресича страната \( AC \) в точка \( K \).Окръжността \( c_2(A, AD) \), с център в \( A \) и радиус \( AD \), пресича страната \( BA \) в точка \( L \), като \( A \) лежи между \( B \) и \( L \).Докажете, че правите \( EK \) и \( DL \) се пресичат върху окръжността \( c \).

[Galin Totev]

Нека \( \triangle ABC \) е остроъгълен триъгълник с лице \( S \). Нека
\[
CD \perp AB, \quad D \in AB,
\]
\[
DM \perp AC, \quad M \in AC,
\]
\[
DN \perp BC, \quad N \in BC.
\]

Обозначаваме с \( H_1 \) и \( H_2 \) ортоцентровете на триъгълниците \( MNC \) и \( MND \) съответно.

Намерете лицето на четириъгълника \( AH_1BH_2 \) изразено чрез \( S \).

[Galin Totev]

Нека \( \triangle ABC \) е остроъгълен триъгълник с \( AB \neq AC \). Нека \( M \) е средната точка на отсечката \( BC \), \( H \) е ортоцентърът на \( \triangle ABC \), \( O_1 \) е средната точка на отсечката \( AH \), а \( O_2 \) е описаният център (центърът на описаната окръжност) на триъгълника \( BCH \).

Докажете, че четириъгълникът \( O_1 A M O_2 \) е успоредник.

[Galin Totev]

Нека \( \triangle ABC \) е триъгълник с \( AB \neq BC \), и нека \( BD \) е вътрешната ъглополовяща на \( \angle ABC \), като \( D \in AC \). Обозначаваме с \( M \) средната точка на дъгата \( AC \), която съдържа точка \( B \).

Описаната около триъгълника \( \triangle BDM \) окръжност пресича отсечката \( AB \) в точка \( K \), различна от \( B \).

Нека \( J \) е образа на точката \( A \) при отражение спрямо \( K \).

Ако \( DJ \cap AM = \{O\} \), докажете, че точките \( J, B, M, O \) лежат на една окръжност.

[Galin Totev]

Нека \(ABCD\) е четириъгълник, чиито диагонали не са перпендикулярни и чиито страни \(AB\) и \(CD\) не са успоредни. Нека \(O\) е точката на пресичане на диагоналите.

Обозначаваме с \(H_1\) и \(H_2\) ортоцентровете на триъгълниците \(AOB\) и \(COD\) съответно.

Нека \(M\) и \(N\) са средните точки на отсечките \(AB\) и \(CD\).

Докажете, че правите \(H_1H_2\) и \(MN\) са успоредни ако и само ако
\[
AC = BD.
\]