Геометрия

[Galin Totev]

Нека \(ABCD\) е успоредник. Правата, перпендикулярна на диагонала \(AC\) и минаваща през точка \(C\), и правата, перпендикулярна на диагонала \(BD\) и минаваща през точка \(A\), се пресичат в точка \(P\).

Окръжността с център \(P\) и радиус \(PC\) пресича правата \(BC\) в точка \(X\), различна от \(C\), и правата \(DC\) в точка \(Y\), различна от \(C\).

Докажете, че правата \(AX\) минава през точка \(Y\).

[Galin Totev]

Нека \(ABC\) е остроъгълен триъгълник, в който страната \(AB\) е най-късата. Нека \(D\) е средната точка на отсечката \(AB\), а \(P\) — вътрешна точка на триъгълника, за която
\[
\angle CAP = \angle CBP = \angle ACB.
\]

Нека \(M\) и \(N\) са проекциите на точката \(P\) съответно върху страните \(BC\) и \(AC\). Нека \(p\) е правата, минаваща през \(M\) и успоредна на \(AC\), а \(q\) — правата, минаваща през \(N\) и успоредна на \(BC\). Нека \(K\) е пресечната точка на правите \(p\) и \(q\).

Докажете, че точката \(D\) е център на описаната окръжност на триъгълника \(MNK\).

[Galin Totev]

Нека \(ABC\) е триъгълник с \(AB \leq AC\). Точка \(D\) лежи на дъгата \(BC\) от описаната окръжност на \(ABC\), която не съдържа точката \(A\), а точка \(E\) лежи на отсечката \(BC\), такива че
\[
\angle BAD = \angle CAE < \frac{1}{2} \angle BAC. \]Нека \(S\) е средната точка на отсечката \(AD\). Ако \[ \angle ADE = \angle ABC - \angle ACB, \] то докажете, че \[ \angle BSC = 2 \angle BAC. \]

[Galin Totev]

Нека \(ABC\) е остроъгълен триъгълник с \(AB \neq AC\), с описана окръжност \(\Gamma\) и център \(O\). Нека \(M\) е средата на отсечката \(BC\), а \(D\) е точка върху \(\Gamma\), такава че
\[
AD \perp BC.
\]

Нека \(T\) е точка, така че четириъгълникът \(BDCT\) е успоредник, и \(Q\) — точка от същата страна на \(BC\) като \(A\), за която
\[
\angle BQM = \angle BCA \quad \text{и} \quad \angle CQM = \angle CBA.
\]

Нека правата \(AO\) пресича \(\Gamma\) в точка \(E\), като \(E \neq A\), и нека описаната окръжност на триъгълника \(ETQ\) пресича \(\Gamma\) отново в точка \(X \neq E\).

Докажете, че точките \(A\), \(M\) и \(X\) лежат на една права.

[Galin Totev]

Точката \(P\) лежи във вътрешността на триъгълника \(ABC\). Правите \(AP\), \(BP\) и \(CP\) пресичат страните \(BC\), \(CA\) и \(AB\) съответно в точките \(D\), \(E\) и \(F\).

Докажете, че ако двa от шестте четириъгълника
\[
ABDE, \quad BCEF, \quad CAFD, \quad AEPF, \quad BFPD, \quad CDPE
\]
са вписани в окръжност, то всички шест са вписани в окръжност.