Геометрия

[Galin Totev]

Нека \(\triangle ABC\) е остроъгълен триъгълник, \(O\) е неговият център на описаната окръжност, а точките \(D, E, F\) лежат съответно на страните \(BC, CA, AB\). Окръжността \((c_1)\) с радиус \(FA\) и център \(F\) пресича отсечката \(OA\) в точка \(A’\) и описаната окръжност \((c)\) на триъгълника \(ABC\) отново в точка \(K\). Аналогично, окръжността \((c_2)\) с радиус \(DB\) и център \(D\) пресича отсечката \(OB\) в точка \(B’\) и окръжността \((c)\) отново в точка \(L\). Накрая, окръжността \((c_3)\) с радиус \(EC\) и център \(E\) пресича отсечката \(OC\) в точка \(C’\) и окръжността \((c)\) отново в точка \(M\). Докажете, че четириъгълниците \(BKF{A}’\), \(CLD{B}’\) и \(AME{C}’\) са вписани, и техните описани окръжности имат обща точка.

[Galin Totev]

Нека \(\triangle ABC\) е триъгълник с \(\angle BAC = 60^\circ\). Нека \(D\) и \(E\) са основите на перпендикулярите от \(A\) към външните ъглоразделители на \(\angle ABC\) и \(\angle ACB\), съответно. Нека \(O\) е центърът на описаната окръжност на триъгълника \(ABC\). Докажете, че описаните окръжности на триъгълниците \(ADE\) и \(BOC\) сe допират.

[Galin Totev]

Трапец \(ABCD\) (\(AB \parallel CD\), \(AB > CD\)) е описан. Вписаната окръжност на триъгълника \(ABC\) докосва правите \(AB\) и \(AC\) съответно в точките \(M\) и \(N\). Докажете, че центърът на вписаната окръжност на трапеца \(ABCD\) лежи на правата \(MN\).

[Galin Totev]

Нека \(\triangle ABC\) е остроъгълен триъгълник, чиято най-къса страна е \(BC\). Разглеждаме променлива точка \(P\) на страната \(BC\), и нека \(D\) и \(E\) са точки съответно на \(AB\) и \(AC\), такива че \(BD = BP\) и \(CP = CE\). Докажете, че докато точката \(P\) се движи по \(BC\), описаната окръжност на триъгълника \(ADE\) минава през фиксирана точка.

[Galin Totev]

Нека \(\triangle ABC\) е остроъгълен триъгълник с ортоцентър \(H\) и център на описаната окръжност \(O\). Да предположим, че центърът на описаната окръжност \(X\) на триъгълника \(BHC\) лежи на описаната окръжност на \(ABC\). Симетрираме \(O\) спрямо \(X\), за да получим \(O’\), и нека правите \(XH\) и \(O’A\) се пресичат в точка \(K\). Нека \(L\), \(M\) и \(N\) са средите съответно на отсечките \([XB]\), \([XC]\) и \([BC]\). Докажете, че точките \(K\), \(L\), \(M\) и \(N\) лежат на една окръжност.

[Galin Totev]

Даден е остроъгълен триъгълник \(\triangle ABC\). Построяваме триъгълниците \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACE\) външно, така че \(\angle ADB = \angle AEC = 90^\circ\) и \(\angle BAD = \angle CAE\). Нека \(A_1 \in BC\), \(B_1 \in AC\) и \(C_1 \in AB\) са основите на височините на триъгълника \(\triangle ABC\), и нека \(K\) и \(L\) са средите съответно на отсечките \([BC_1]\) и \([CB_1]\). Докажете, че центровете на описаните окръжности на триъгълниците \(\triangle AKL\), \(\triangle A_1 B_1 C_1\) и \(\triangle DEA_1\) лежат на една права.

[Galin Totev]

Нека \(AB\) е хорда на окръжност \((c)\) с център \(O\), и нека \(K\) е точка на отсечката \(AB\), такава че \(AK < BK\). Две окръжности, преминаващи през \(K\), вътрешно допиращи се до \((c)\) съответно в точките \(A\) и \(B\), се пресичат отново в точка \(L\). Нека \(P\) е една от пресечните точки на правата \(KL\) с окръжността \((c)\), и нека правите \(AB\) и \(LO\) се пресичат в точка \(M\). Докажете, че правата \(MP\) е допирателна към окръжността \((c)\).