Алгебра

[Galin Totev]

Реалните числа \(a\) и \(b\) удовлетворяват уравнението \[ a^3 + b^3 – 6ab = -11. \] Докажете, че \[ -\frac{7}{3} < a + b < -2. \]

[Galin Totev]

Нека \( a, b, c \) са положителни реални числа, такива че \( abc = \frac{2}{3} \). Докажете, че: \[ \frac{ab}{a + b} + \frac{bc}{b + c} + \frac{ca}{c + a} \geqslant \frac{a + b + c}{a^3 + b^3 + c^3}. \]

[Galin Totev]

Нека \( A \) и \( B \) са две непразни подмножества на \( X = \{1, 2, \dots, 11\} \) с \( A \cup B = X \). Нека \( P_A \) е произведението на всички елементи на \( A \), а \( P_B \) е произведението на всички елементи на \( B \). Намерете минималната и максималната възможна стойност на \( P_A + P_B \) и намерете всички случаи на равенство.

[Galin Totev]

Нека \( a \), \( b \) са две различни реални числа и нека \( c \) е положително реално число, такова че \[ a^4 – 2019a = b^4 – 2019b = c. \] Докажете, че \[ -\sqrt{c} < ab < 0. \]

[Galin Totev]

Нека \( a, b, c, d \) са положителни реални числа, такива че \( abcd = 1 \). Докажете неравенството \[ \frac{1}{a^3 + b + c + d} + \frac{1}{a + b^3 + c + d} + \frac{1}{a + b + c^3 + d} + \frac{1}{a + b + c + d^3} \leq \frac{a + b + c + d}{4}. \]

[Galin Totev]

Нека \( a, b, c \) са положителни реални числа. Докажете неравенството \[ (a^2 + ac + c^2) \left( \frac{1}{a + b + c} + \frac{1}{a + c} \right) + b^2 \left( \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + b} \right) > a + b + c. \]

[Galin Totev]

Покажете, че за всякакви положителни реални числа \( a, b, c \), такива че \( a + b + c = ab + bc + ca \), е в сила следното неравенство \[ 3 + \sqrt[3]{\frac{a^3 + 1}{2}} + \sqrt[3]{\frac{b^3 + 1}{2}} + \sqrt[3]{\frac{c^3 + 1}{2}} \leq 2(a + b + c). \]