Теория на Числата

[Galin Totev]

Намерете всички наредени двойки от положителни цели числа \((a, b)\), за които числата \(a! + b\) и \(b! + a\) са степени на числото 5.

[Galin Totev]

Положително цяло число се нарича \textit{тиранианско}, ако може да се представи във вида \(x^2 + 6xy + y^2\), където \(x\) и \(y\) са (не непременно различни) положителни цели числа. Числото \(36^{2023}\) е представено като сума от \(k\) тираниански числа. Каква е най-малката възможна стойност на \(k\)?

[Galin Totev]

Нека \(A\) е подмножество на \(\{2, 3, \ldots, 28\}\) с условието, че ако \(a \in A\), то остатъкът от делението на \(a^2\) на \(29\) също принадлежи на \(A\).

Намерете най-малката възможна стойност на \(|A|\).

[Galin Totev]

Триъгълникът \(ABC\) е разделен от правите \(AD\), \(BE\) и \(CF\) (където \(D \in (BC)\), \(E \in (CA)\) и \(F \in (AB)\)) в седем непокрити полигона, наречени региони. Във всяка от деветте върха на тези региони пишем цифра, като всяка ненулева цифра се появява точно веднъж. На всяка страна на региона присвояваме най-малкото общо кратно на цифрите, разположени в краищата ѝ, а на всеки регион — най-голямото общо делимо на числата, присвоени на неговите страни.

Намерете най-голямата възможна стойност на произведението на числата, присвоени на регионите.

[Galin Totev]

Намерете най-голямото положително цяло число \(k\), такова че можем да намерим подмножество \(A \subseteq \{1, 2, \ldots, 100\}\) с \(k\) елемента, така че за всяко \(a, b \in A\) да е изпълнено, че \(a\) дели \(b\) тогава и само тогава, когато \(s(a)\) дели \(s(b)\), където \(s(k)\) е сумата на цифрите на числото \(k\).

[Galin Totev]

Версия 1: Намерете всички прости числа \(p\), които отговарят на следните условия:

(i) \(\frac{p+1}{2}\) е простото число. \\
(ii) Има поне три различни положителни цели числа \(n\), за които \(\frac{p^2 + n}{p + n^2}\) е цяло число.

Версия 2: Нека \(p \neq 5\) е просто число, такова че \(\frac{p+1}{2}\) също е просто число. Да се предположи, че съществуват положителни цели числа \(a < b\), така че \(\frac{p^2 + a}{p + a^2}\) и \(\frac{p^2 + b}{p + b^2}\) са цели числа. Докажете, че \(b = (a - 1)^2 + 1\).