Алгебра

[Galin Totev]

Намерете всички положителни реални числа \( n \), за които е изпълнено равенството:
\[
n + \lfloor \sqrt{n} \rfloor + \lfloor \sqrt[3]{n} \rfloor = 2014.
\]

[Galin Totev]

Нека \( a, b, c \) са положителни реални числа, за които е изпълнено условието \( abc = \dfrac{1}{8} \). Докажете неравенството:
\[
a^2 + b^2 + c^2 + a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \geq \dfrac{15}{16}.
\]
Кога е изпълнено равенство?

[Galin Totev]

Нека \( a, b, c \) са положителни реални числа, за които е изпълнено \( abc = 1 \). Докажете неравенството:
\[
\left(a+\frac{1}{b}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{c}\right)^2 + \left(c+\frac{1}{a}\right)^2 \geq 3(a + b + c + 1).
\]

[Galin Totev]

Нека \( a, b, c \in \mathbb{R}^+ \) и \( a + b + c = 1 \). Докажете неравенството:
\[
\frac{7 + 2b}{1 + a} + \frac{7 + 2c}{1 + b} + \frac{7 + 2a}{1 + c} \geq \frac{69}{4}.
\]

[Galin Totev]

Нека \( x, y, z \) са неотрицателни реални числа, за които е изпълнено:
\[
x + y + z = xyz.
\]
Докажете, че:
\[
2(x^2 + y^2 + z^2) \geq 3(x + y + z).
\]

[Galin Totev]

Нека \( a, b, c \) са положителни реални числа. Докажете неравенството:
\[
\left((3a^2+1)^2 + 2\left(1+\frac{3}{b}\right)^2\right)
\left((3b^2+1)^2 + 2\left(1+\frac{3}{c}\right)^2\right)
\left((3c^2+1)^2 + 2\left(1+\frac{3}{a}\right)^2\right)
\geq 48^3.
\]

[Galin Totev]

Нека \( a, b, c \in \mathbb{R}^+ \) и \( a^2 + b^2 + c^2 = 48 \). Докажете неравенството:
\[
a^2\sqrt{2b^3 + 16} + b^2\sqrt{2c^3 + 16} + c^2\sqrt{2a^3 + 16} \leq 24^2.
\]

[Galin Totev]

Нека \( x, y, z \) са положителни реални числа, за които е изпълнено \( xyz = 1 \). Докажете неравенството:

\[
\frac{1}{x(ay + b)} + \frac{1}{y(az + b)} + \frac{1}{z(ax + b)} \geq 3,
\]

Където:

• (A) \( a = 0, \quad b = 1 \),
• (B) \( a = 1, \quad b = 0 \),
• (C) \( a + b = 1, \quad a, b > 0 \).

Кога и при какви условия се постига равенство?

[Galin Totev]

Нека \( n \) е положително цяло число, а \( x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n \) са положителни реални числа, такива че

\[
x_1 + \ldots + x_n = y_1 + \ldots + y_n = 1.
\]

Докажете, че:

\[
|x_1 – y_1| + \ldots + |x_n – y_n| \leq 2 – \min_{1 \leq i \leq n} \frac{x_i}{y_i} – \min_{1 \leq i \leq n} \frac{y_i}{x_i}.
\]