Геометрия

[Galin Totev]

Нека \(ABC\) е триъгълник с център на описаната окръжност \(O\) и описана окръжност \(\Omega\). Окръжността \(\Gamma\) минава през \(O, B\) и се допира до \(AB\) в точка \(B\). Нека \(\Gamma\) пресича \(\Omega\) за втори път в точка \(P \neq B\). Окръжността, минаваща през \(P, C\) и допираща се до \(AC\) в точка \(C\), пресича \(\Gamma\) в точка \(M\). Докажете, че \(|MP| = |MC|\).

[Galin Totev]

Нека $ABC$ е триъгълник с $AB < AC$ и $\omega$ е описаната му окръжност. Тангенциалната права към $\omega$ в точка $A$ пресича правата $BC$ в точка $D$, а точка $E$ лежи на $\omega$ така, че $BE \parallel AD$. Правата $DE$ пресича отсечката $AB$ в точка $F$ и окръжността $\omega$ отново в точка $G$. Окръжността, описана около триъгълника $BGF$, пресича правата $BE$ в точка $N$. Правата $NF$ пресича правите $AD$ и $EA$ в точки $S$ и $T$ съответно. Докажете, че четириъгълникът $DGST$ е вписан.

[Galin Totev]

Нека $A, B, C, D$ и $E$ бъдат пет точки, лежащи в този ред на окръжност, така че $AD = BC$. Правите $AD$ и $BC$ се пресичат в точка $F$. Окръжностите, описани около триъгълниците $CEF$ и $ABF$, се пресичат отново в точка $P$.

Докажете, че описаните окръжности около триъгълниците $BDF$ и $BEP$ сe допират.

[Galin Totev]

Нека $ABCD$ е вписан четириъгълник, при който ъглите при върховете $B$ и $C$ са остри. Нека $M$ и $N$ са проекциите на върха $B$ съответно върху правите $AC$ и $AD$, а $P$ и $T$ са проекциите на върха $D$ съответно върху правите $AB$ и $AC$. Нека $Q$ и $S$ са пресечните точки на правите $MN$ и $CD$, и $PT$ и $BC$.

Докажете следните твърдения:
а) Докажете, че $NS \parallel PQ \parallel AC$.

б) Докажете, че $NP = SQ$.

в) Докажете, че четириъгълникът $NPQS$ е правоъгълник тогава и само тогава, когато $AC$ е диаметър на описаната около четириъгълника $ABCD$ окръжност.

[Galin Totev]

Нека $ABC$ е остроъгълен триъгълник с център $O$ на описаната му окръжност. Нека $D$ е основата на височината от върха $A$ към страната $BC$, а $M$ е средата на отсечката $OD$. Точките $O_b$ и $O_c$ са центровете на описаните окръжности съответно на триъгълниците $AOC$ и $AOB$. Ако $AO = AD$, докажете, че точките $A$, $O_b$, $M$ и $O_c$ лежат на една окръжност.

Марин Христов и Божидар Димитров, България

[Galin Totev]

Нека $D$ и $E$ са произволни точки съответно върху страните $BC$ и $AC$ на триъгълника $ABC$. Описаната окръжност на триъгълника $ADC$ пресича за втори път описаната окръжност на триъгълника $BCE$ в точка $F$. Правата $FE$ пресича правата $AD$ в точка $G$, а правата $FD$ пресича правата $BE$ в точка $H$. Докажете, че правите $CF$, $AH$ и $BG$ се пресичат в една точка.

[Galin Totev]

Нека \(D, E, F\) са допирните точки на вписаната окръжност на даден триъгълник \(ABC\) със страните \(BC, CA, AB\) съответно. Да означим с \(I\) инцентъра на триъгълника \(ABC\), с \(M\) средата на страната \(BC\), а с \(G\) петата на перпендикуляра от точка \(M\) към правата \(EF\). Докажете, че правата \(ID\) се допира към описаната окръжност на триъгълника \(MGI\).