[Galin Totev]

Намерете всички прости числа \( p \) и \( q \), за които изразът
\[
1 + \frac{p^q – q^p}{p + q}
\]
е просто число.

[Galin Totev]

Докажете, че не съществува просто число \( p \), такова че всяка негова степен е палиндром (палиндром е число, което се чете еднакво отляво надясно и отдясно наляво; в частност, число, което завършва на една или повече нули, не може да бъде палиндром).

[Galin Totev]

Съществуват ли положителни цели числа \( m \) и \( n \), които удовлетворяват уравнението

\[
m^3 = 9n^4 + 170n^2 + 289 \, ?
\]

[Galin Totev]

Нека положителното цяло число \( k \) и множеството \( A \) от различни цели числа от \( 1 \) до \( 3k \) включително бъдат такива, че няма различни \( a \), \( b \), \( c \) в \( A \), за които да е изпълнено \( 2b = a + c \). Числата от \( A \) в интервала \( [1, k] \) ще се наричат малки; тези в \( [k + 1, 2k] \) – средни, а тези в \( [2k + 1, 3k] \) – големи. Винаги е вярно, че няма положителни цели числа \( x \) и \( d \), така че ако \( x \), \( x + d \) и \( x + 2d \) се делят на \( 3k \), остатъците от тях да принадлежат на \( A \), като остатъците на \( x \) и \( x + d \) са различни и са:

• малки?
• средни?
• големи?

[Galin Totev]

Намерете всички прости числа \( p \), така че

\[
(x + y)^{19} – x^{19} – y^{19}
\]

да е кратно на \( p \) за всякакви положителни цели числа \( x \) и \( y \).

[Galin Totev]

Намерете най-голямото цяло число \( k \) (\( k \ge 2 \)), за което съществува цяло число \( n \) (\( n \ge k \)), така че от всяка колекция от \( n \) последователни положителни цели числа винаги може да се изберат \( k \) числа, които удовлетворяват следните условия:

• всяко избрано число не е делимо на \( 6 \), \( 7 \) и \( 8 \);
• положителната разлика на всяко две различни избрани числа не е делима поне с едно от числата \( 6 \), \( 7 \) и \( 8 \).

[Galin Totev]

Намерете всички положителни цели числа \( a \), \( b \), \( c \) и \( p \), където \( p \) е просто число, така че

\[
73p^2 + 6 = 9a^2 + 17b^2 + 17c^2.
\]

[Galin Totev]

Съществува ли естествено число \( n \), за което \( 8^n + 47 \) е просто число?

[Galin Totev]

Алис и Боб играят следната игра: Алис избира множество \( A = \{1, 2, …, n \} \) за някое естествено число \( n \ge 2 \). След това, започвайки от Боб, те, един след друг, избират числа от множеството \( A \), като се спазват следните условия: първоначално Боб избира всяко число, което иска, а след това числото, избирано на всяка стъпка, трябва да е различно от вече избраните числа и да се различава с \( 1 \) от вече избрано число. Играта приключва, когато всички числа от множеството \( A \) бъдат избрани. Алис печели, ако сумата на всички числа, които тя е избрала, е съставно число. В противен случай Боб печели. Решете кой играч има печеливша стратегия.

[Galin Totev]

Виктор и Наталия купили \( 2020 \) кофи със сладолед и искат да организират график за дегустация с \( 2020 \) рунда, така че:

• Във всеки рунд и двамата опитват по един сладолед, като двата сладоледа, опитани в един рунд, са различни.
• В края на \( 2020 \) рунда и двамата опитват всеки сладолед точно веднъж.

Ще наречем графика за дегустация справедлив, ако броят на сладоледите, които Виктор е опитал преди Наталия, е равен на броя сладоледи, които Наталия е опитала преди Виктор.

Докажете, че броят на справедливите графици е строго по-голям от \( 2020!(2^{1010} + (1010!)^2) \).

[Galin Totev]

Алис и Боб играят следната игра: започвайки с числото \( 2 \), записано на дъската, всеки играч по ред променя текущото число \( n \) на числото \( n + p \), където \( p \) е прост делител на \( n \). Алис започва първа и играчите редуват ходовете си. Губи този, който е принуден да запише число, по-голямо от \( \underbrace{22…2}_{2020} \). При правилна игра от всеки, кой ще спечели?

[Galin Totev]

\( \triangle ABC \) е правоъгълен триъгълник с \( \angle BAC = 90^{\circ} \) и \( E \) е основата на перпендикуляра от точка \( A \) към страната \( BC \). \( Z \ne A \) е точка на правата \( AB \), такава че \( AB = BZ \). \( c \) е описаната окръжност около триъгълника \( \triangle AEZ \). \( D \) е втората пресечна точка на окръжността \( c \) с правата \( ZC \), а \( F \) е диаметрално противоположната точка на \( D \) спрямо окръжността \( c \). \( P \) е пресечната точка на правите \( FE \) и \( CZ \). Ако допирателната към окръжността \( c \) в точка \( Z \) пресича правата \( PA \) в точка \( T \), да се докаже, че точките \( T \), \( E \), \( B \), \( Z \) лежат на една окръжност.

[Galin Totev]

\( \triangle ABC \) е правоъгълен триъгълник с \( \angle BAC = 90^{\circ} \), а \( E \) е основата на перпендикуляра от точка \( A \) към страната \( BC \). Точка \( Z \ne A \) лежи на правата \( AB \) и е такава, че \( AB = BZ \). Нека означим с \( c \) и \( c_1 \) описаните окръжности около триъгълниците \( \triangle AEZ \) и \( \triangle BEZ \), съответно. \( c_2 \) е произволна окръжност, минаваща през точките \( A \) и \( E \). Окръжността \( c_1 \) пресича правата \( CZ \) за втори път в точка \( F \), и пресича \( c_2 \) за втори път в точка \( N \). Ако \( P \) е втората пресечна точка на \( c_2 \) с правата \( AF \), да се докаже, че точките \( N \), \( B \), \( P \) лежат на една права.

[Galin Totev]

Нека \( \triangle ABC \) бъде остроъгълен триъгълник. Правата през \( A \), перпендикулярна на \( BC \), пресича \( BC \) в точка \( D \).
Нека \( E \) бъде средата на отсечката \( AD \), а \( \omega \) окръжността с център \( E \) и радиус равен на \( AE \). Правата \( BE \) пресича \( \omega \) в точка \( X \), така че \( X \) и \( B \) не лежат от една и съща страна спрямо правата \( AD \), а правата \( CE \) пресича \( \omega \) в точка \( Y \), така че \( C \) и \( Y \) не лежат от една и съща страна спрямо правата \( AD \).
Ако двете пресечни на описаните окръжности около триъгълниците \( \triangle BDX \) и \( \triangle CDY \) лежат на правата \( AD \),
да се докаже, че \( AB = AC \).

[Galin Totev]

Да намерим всички тройки от положителни реални числа \( (a, b, c) \), за които изразът

\[
M = \frac{(a + b)(b + c)(a + b + c)}{abc}
\]

приема най-малката си стойност.