[Galin Totev]

Определете най-голямото положително цяло число \( n \), което дели \( p^6 – 1 \) за всяко просто число \( p > 7 \).

[Galin Totev]

Решете в цели числа системата от уравнения:

\[
x^2 – y^2 = z
\]

\[
3xy + (x – y)z = z^2
\]

[Galin Totev]

Решете в положителни цели числа уравнението:
\[
\frac{1}{x^{2}} + \frac{y}{xz} + \frac{1}{z^{2}} = \frac{1}{2013}.
\]

[Galin Totev]

Правоъгълник в декартовата координатна система \(xy\) се нарича решетъчен, ако всички негови върхове имат цели координати.

а) Намерете решетъчен правоъгълник с лице \(2013\), чиито страни не са успоредни на координатните оси.

б) Докажете, че ако решетъчен правоъгълник има лице \(2011\), то неговите страни са успоредни на координатните оси.

[Galin Totev]

Намерете всички двойки \((a,b)\) от положителни цели числа, за които числата
\[
\dfrac{a^3 b – 1}{a + 1} \quad \text{и} \quad \dfrac{b^3 a + 1}{b – 1}
\]
са положителни цели числа

[Galin Totev]

Решете в цели числа уравнението
\[
20^x + 13^y = 2013^z.
\]

[Galin Totev]

Намерете всички положителни цели числа \( n \), за които
\[
1^3 + 2^3 + \cdots + 16^3 + 17^n
\]
е точен квадрат.

[Galin Totev]

Нека \( P \) и \( Q \) са средите на страните \( BC \) и \( CD \) съответно в правоъгълника \( ABCD \). Нека \( K \) и \( M \) са пресечните точки на правата \( PD \) с правите \( QB \) и \( QA \) съответно, а \( N \) е пресечната точка на правите \( PA \) и \( QB \). Нека \( X \), \( Y \) и \( Z \) са средите на отсечките \( AN \), \( KN \) и \( AM \) съответно. Нека \( \ell_1 \) е правата, минаваща през \( X \) и перпендикулярна на \( MK \), \( \ell_2 \) е правата, минаваща през \( Y \) и перпендикулярна на \( AM \), а \( \ell_3 \) е правата, минаваща през \( Z \) и перпендикулярна на \( KN \). Докажете, че правите \( \ell_1 \), \( \ell_2 \) и \( \ell_3 \) се пресичат в една точка.

[Galin Totev]

Окръжност, минаваща през средата \( M \) на страната \( BC \) и върха \( A \) на триъгълника \( ABC \), пресича отсечките \( AB \) и \( AC \) за втори път в точките \( P \) и \( Q \) съответно. Докажете, че ако \(\angle BAC = 60^{\circ}\), то
\[
AP + AQ + PQ < AB + AC + \frac{1}{2} BC. \]

[Galin Totev]

Нека \( I \) е центъра на вписаната окръжност, а \( AB \) – най-късата страна на триъгълника \( ABC \). Окръжността с център \( I \), минаваща през \( C \), пресича лъча \( AB \) в точка \( P \) и лъча \( BA \) в точка \( Q \). Нека \( D \) е точката на допиране на \( A \)-външно вписаната окръжност на триъгълника \( ABC \) със страната \( BC \). Нека \( E \) е образът на точка \( C \) при отражение спрямо точка \( D \). Докажете, че \( PE \perp CQ \).

[Galin Totev]

Нека \( ABC \) е остроъгълен триъгълник с \( AB < AC \) и нека \( O \) е центърът на описаната му окръжност \( \omega \). Нека \( D \) е точка от отсечката \( BC \), за която \( \angle BAD = \angle CAO \). Нека \( E \) е втората пресечна точка на \( \omega \) с правата \( AD \). Ако \( M \), \( N \) и \( P \) са средните точки на отсечките \( BE \), \( OD \) и \( AC \) съответно, докажете, че точките \( M \), \( N \) и \( P \) лежат на една права.

[Galin Totev]

Нека окръжностите \( \omega_1 \) и \( \omega_2 \) се допират външно в точка \( M \) и се допират вътрешно с окръжността \( \omega_3 \) в точките \( K \) и \( L \) съответно. Нека \( A \) и \( B \) са точките, в които общата допирателна в точка \( M \) към окръжностите \( \omega_1 \) и \( \omega_2 \) пресича окръжността \( \omega_3 \). Докажете, че ако \( \angle KAB = \angle LAB \), то отсечката \( AB \) е диаметър на окръжността \( \omega_3 \).

[Galin Totev]

Нека \( AB \) е диаметър на окръжност \( \omega \) с център \( O \), а \( OC \) е радиус на \( \omega \), перпендикулярен на \( AB \). Нека \( M \) е точка от отсечката \( OC \). Нека \( N \) е втората пресечна точка на правата \( AM \) с окръжността \( \omega \), а \( P \) е пресечната точка на допирателните към \( \omega \) в точките \( N \) и \( B \). Докажете, че точките \( M, O, P, N \) лежат на една окръжност.

[Galin Totev]

Нека \( n \) е положително цяло число. Двама играчи, Алис и Боб, играят следната игра:
– Алис избира \( n \) реални числа (не непременно различни).
– Алис записва всички двойки суми на лист хартия и ги дава на Боб. (Такива суми има \( \frac{n(n-1)}{2} \); не непременно различни.)
– Боб печели, ако успее да открие правилно първоначалните \( n \) числа, избрани от Алис, само с едно предположение.

Може ли Боб със сигурност да спечели в следните случаи?

а) \( n = 5 \)
б) \( n = 6 \)
в) \( n = 8 \)

[Galin Totev]

В билярдна маса с формата на правоъгълник \(ABCD\), където \(AB = 2013\) и \(AD = 1000\), топка се пуска по ъглополовящата на \(\angle BAD\). Да се провери дали топката някога ще достигне до върха \(B\), като се предполага, че при всеки удар в страните се отразява под същия ъгъл, под който е паднала.