[Galin Totev]

Даден е остроъгълен триъгълник \( ABC \) с ортоцентър \( H \) и описана окръжност \( k \). Нека \( \omega \) е окръжността с диаметър \( AH \), а \( P \) е втората обща точка на \( \omega \) и \( k \), различна от \( A \). Нека \( BP \) и \( CP \) пресичат \( \omega \) за втори път в точки \( Q \) и \( R \) съответно. Ако \( D \) е петата на перпендикуляра от \( A \) към \( BC \), а \( S \) е пресечната точка на \( \omega \) и \( QD \), докажете, че \( HR = HS \).

[Galin Totev]

Даден е равнобедрен триъгълник \( ABC \) и произволна точка, означена с \( E \), на отсечката \( BC \). Нека \( l \) е правата през \( A \), успоредна на \( BC \), и нека \( K \) е точката на \( l \), така че \( KE \) е перпендикулярна на \( BC \). Окръжността с център \( K \) и радиус \( KE \) пресича страните \( AB \) и \( AC \) в точките \( M \) и \( N \) съответно. Правата, перпендикулярна на \( AB \) в точка \( M \), пресича \( l \) в точка \( D \), а правата, перпендикулярна на \( AC \) в точка \( N \), пресича \( l \) в точка \( F \). Докажете, ъглополовящите на \( MDA \) и \( NFA \) се пресичат върху правата \( KE \).

[Galin Totev]

Нека \( ABC \) бъде остроъгълен триъгълник, такъв че \( AH = HD \), където \( H \) е ортоцентъра на триъгълника \( ABC \), а \( D \in BC \) е петата на височината от върха \( A \). Нека \( \ell \) е правата през \( H \), която е допирателна към описаната окръжност на триъгълника \( BHC \). Нека \( S \) и \( T \) са пресечните точки на \( \ell \) с \( AB \) и \( AC \) съответно. Нека \( M \) и \( N \) са средите на отсечките \( BH \) и \( CH \) съответно. Докажете, че правите \( SM \) и \( TN \) са успоредни.

[Galin Totev]

Нека \( ABC \) бъде триъгълник с описана окръжност \( k \). Точките \( A_1, B_1 \) и \( C_1 \) върху \( k \) са средите на дъги \( \widehat{BC} \) (не съдържаща \( A \)), \( \widehat{AC} \) (не съдържаща \( B \)) и \( \widehat{AB} \) (не съдържаща \( C \)) съответно. Нека \( A_2, B_2 \) и \( C_2 \) са различни точки, така че четириъгълниците \( AB_1A_2C_1, BA_1B_2C_1 \) и \( CA_1C_2B_1 \) да са успоредници. Докажете, че \( k \) и описаната окръжност на триъгълника \( A_2B_2C_2 \) имат общ център.

[Galin Totev]

Нека \( ABCDE \) бъде вписан петоъгълник, такъв че \( BC = DE \) и \( AB \) е успоредно на \( DE \). Нека \( X, Y \) и \( Z \) бъдат средите на отсечките \( BD, CE \) и \( AE \) съответно. Докажете, че \( AE \) е допирателна към описаната окръжност на триъгълника \( XYZ \).

[Galin Totev]

Нека \( n \ge 2 \) бъде цяло число. Във всяка клетка на таблица с размери \( 4n \times 4n \) записваме сумата на индексите на реда и колоната на клетката. Първоначално, нито една клетка не е оцветена. Ходът се състои в избор на две клетки, които не са оцветени, и оцветяване на едната от тях в червено, а другата в синьо.
Докажете, че независимо как Алекс извършва \( n^2 \) хода, Джейн може след това да извърши няколко хода (или да не извършва никакви) така, че сумата на числата в червените клетки да е равна на сумата на числата в сините клетки.

[Galin Totev]

Нека \( S \) бъде крайно множество точки в равнината, така че за всяка двойка точки \( A \) и \( B \) в \( S \), сегментът \( AB \) е страна на правилен многоъгълник, всички върхове на който се намират в \( S \). Намерете всички възможни стойности за броя елементи на \( S \).

[Galin Totev]

Наричаме едно четно положително число \( n \) хубаво, ако множеството \( \{1, 2, \dots, n\} \) може да бъде разделено на \( \frac{n}{2} \) двойки елементи, така че сумата на елементите във всяка двойка да е степен на 3. Например, 6 е хубаво, защото множеството \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) може да бъде разделено на двойките \( \{1, 2\} \), \( \{3, 6\} \), \( \{4, 5\} \). Намерете броя на хубавите положителни числа, които са по-малки от \( 3^{2022} \).

[Galin Totev]

На масата има 200 кутии. В началото всяка от кутиите съдържа положително число (числата не са непременно различни). Всяка минута Алиса извършва едно движение. Движението се състои от следното: Първо тя избира кутия \( X \), която съдържа число \( c \), такова че \( c = a + b \) за някои числа \( a \) и \( b \), които се съдържат в някои други кутии. След това тя избира положително число \( k > 1 \). Накрая тя премахва \( c \) от кутията \( X \) и го заменя с \( k \cdot c \). Ако не може да извърши никакви движения, тя спира.

Докажете, че независимо от начина, по който Алиса прави своите движения, тя няма да може да извърши безкрайно много движения.

[Galin Totev]

Нека \(n \geq 2\) е цяло число. Алекс изписва числата \(1, 2, \ldots, n\) в някакъв ред по окръжност, така че всяка двойка съседни числа да са взаимно прости.

След това, за всяка двойка числа, които не са взаимно прости, Алекс чертае отсечка между тях. За всяка такава отсечка \(s\), означаваме с \(d_s\) разликата между числата в краищата ѝ, а с \(p_s\) — броя на всички други отсечки, които се пресичат с \(s\) във вътрешна точка.

Да се намери най-голямото възможно \(n\), за което Алекс може да изписва числата по окръжността така, че за всяка отсечка \(s\) да е изпълнено:
\[
p_s \leq |d_s|.
\]

[Galin Totev]

Анна и Боб, като Анна започва първа, се редуват да оцветяват числата от множеството \(S = \{1, 2, \ldots, 2022\}\) в червено или синьо. При своя ход всеки от тях може да оцвети което и да е неоцветено число от \(S\) в който и да е цвят пожелае. Играта завършва, когато всички числа от \(S\) бъдат оцветени.

Нека \(N\) бъде броят на наредените двойки \((a, b)\), където \(a\) и \(b\) са елементи на \(S\), имат един и същи цвят и \(b – a = 3\).

Анна иска да максимизира стойността на \(N\). Каква е най-голямата стойност на \(N\), която тя може да постигне, независимо от стратегията на Боб?

[Galin Totev]

Нека \(a, b, c\) са положителни реални числа, такива че \(a^2 + b^2 + c^2 = 3\). Докажете, че:
\[
\frac{a^2 + b^2}{2ab} + \frac{b^2 + c^2}{2bc} + \frac{c^2 + a^2}{2ca} + \frac{2(ab + bc + ca)}{3} \ge 5 + |(a – b)(b – c)(c – a)|.
\]

[Galin Totev]

На дъска са написани числата \(2, 2, \ldots, 2\) (числото \(2\) е записано общо \(n\) пъти). Една стъпка се състои в това да изберем две числа от дъската, да ги означим с \(a\) и \(b\), и да ги заменим с числото \(\sqrt{\frac{ab + 1}{2}}\).

(a) Нека \(x\) е числото, което остава на дъската след прилагане на операцията \(n – 1\) пъти. Докажете, че
\[
x \ge \sqrt{\frac{n + 3}{n}}.
\]

(b) Докажете, че съществуват безкрайно много стойности на \(n\), за които се постига равенство, както и безкрайно много такива, за които неравенството е строго.

[Galin Totev]

Нека \(a, b, c\) са положителни реални числа, такива че
\[
a + b + c \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}.
\]
Намерете най-голямата възможна стойност на израза:
\[
\frac{a + b – c}{a^3 + b^3 + abc} + \frac{b + c – a}{b^3 + c^3 + abc} + \frac{c + a – b}{c^3 + a^3 + abc}.
\]

[Galin Totev]

Нека \(a, b, c\) са положителни реални числа, такива че \(a + b + c = 1\). Докажете неравенството:
\[
a \sqrt[3]{\frac{b}{a}} + b \sqrt[3]{\frac{c}{b}} + c \sqrt[3]{\frac{a}{c}} \le ab + bc + ca + \frac{2}{3}.
\]