- Тема
- Участници
- Публикации
- Последна публикация
-
C1
Намерете максималния брой различни цели числа, които могат да бъдат избрани от множеството
\[
\{1, 2, 3, \ldots, 2013\}
\]
така че разликата между която и да е двойка от избрани числа да не е равна на \(17\).Започната от:
в: Комбинаторика
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
А3
Докажете, че за всички положителни реални числа \(a\) и \(b\), за които \(ab \geq 1\), е изпълнено неравенството:
\[
\left(a + 2b + \dfrac{2}{a+1} \right) \left( b + 2a + \dfrac{2}{b+1} \right) \geq 16
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
А2
Намерете най-голямата стойност на израза:
\[
\left|\sqrt{x^2 + 4x + 8} – \sqrt{x^2 + 8x + 17}\right|,\quad \text{където } x \in \mathbb{R}.
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
А1
Намерете всички подредени тройки \((x,y,z)\) от реални числа, които удовлетворяват системата уравнения:
\[
\begin{cases}
x^3 = \dfrac{z}{y} – \dfrac{2y}{z} \\
y^3 = \dfrac{x}{z} – \dfrac{2z}{x} \\
z^3 = \dfrac{y}{x} – \dfrac{2x}{y}
\end{cases}
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
N6
Вукашин, Димитрие, Душан, Стефан и Филип помолиха учителя си да познае три поредни положителни цели числа, след като направиха следните верни твърдения:
- Вукашин: „Сумата от цифрите на едно от числата е просто число. Сумата от цифрите на друго от числата е четно съвършено число. (Число \(n\) е съвършено, ако сумата на делителите му \(\sigma(n) = 2n\)). Сумата от цифрите на третото число е равна на броя на положителните му делители.“
- Димитрие: „Всяко от тези три числа има най-много две цифри, равни на \(1\), в десетичната си форма.“
- Душан: „Ако към точно едно от числата добавим \(11\), получаваме квадрат на цяло число.“
- Стефан: „Всяко от тях има точно един прост делител по-малък от \(10\).“
- Филип: „Трите числа са свободни от квадрати (square-free).“
Професорът намери правилния отговор. Кои числа е посочил?
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
N5
Намерете всички неотрицателни цели решения на уравнението
\[
2013^x + 2014^y = 2015^z,
\]
където \(x, y, z \geq 0\).Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
N4
Докажете, че не съществуват цели числа \(a\) и \(b\), които удовлетворяват условията:
- i) \(16a – 9b\) е просто число.
- ii) Произведението \(ab\) е перфектен квадрат.
- iii) Сумата \(a + b\) също е перфектен квадрат.
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
N3
Намерете всички цели решения на уравнението
\[
x^2 = y^2 (x + y^4 + 2y^2).
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
N2
Намерете всички тройки прости числа \((p, q, r)\), които удовлетворяват уравнението
\[
3p^{4} – 5q^{4} – 4r^{2} = 26.
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
N1
Всички букви в думата \(VUQAR\) са различни и са избрани от множеството \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\). Намерете всички решения на уравнението
\[
\frac{(V + U + Q + A + R)^2}{V – U – Q + A + R} = V^{\left(U^{\left(Q^{(A^R)}\right)}\right)}.
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
G6
Нека \(ABCD\) е четириъгълник, чиито диагонали не са перпендикулярни и чиито страни \(AB\) и \(CD\) не са успоредни. Нека \(O\) е точката на пресичане на диагоналите.
Обозначаваме с \(H_1\) и \(H_2\) ортоцентровете на триъгълниците \(AOB\) и \(COD\) съответно.
Нека \(M\) и \(N\) са средните точки на отсечките \(AB\) и \(CD\).
Докажете, че правите \(H_1H_2\) и \(MN\) са успоредни ако и само ако
\[
AC = BD.
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
G5
Нека \( \triangle ABC \) е триъгълник с \( AB \neq BC \), и нека \( BD \) е вътрешната ъглополовяща на \( \angle ABC \), като \( D \in AC \). Обозначаваме с \( M \) средната точка на дъгата \( AC \), която съдържа точка \( B \).
Описаната около триъгълника \( \triangle BDM \) окръжност пресича отсечката \( AB \) в точка \( K \), различна от \( B \).
Нека \( J \) е образа на точката \( A \) при отражение спрямо \( K \).
Ако \( DJ \cap AM = \{O\} \), докажете, че точките \( J, B, M, O \) лежат на една окръжност.
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
G4
Нека \( \triangle ABC \) е остроъгълен триъгълник с \( AB \neq AC \). Нека \( M \) е средната точка на отсечката \( BC \), \( H \) е ортоцентърът на \( \triangle ABC \), \( O_1 \) е средната точка на отсечката \( AH \), а \( O_2 \) е описаният център (центърът на описаната окръжност) на триъгълника \( BCH \).
Докажете, че четириъгълникът \( O_1 A M O_2 \) е успоредник.
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
G3
Нека \( \triangle ABC \) е остроъгълен триъгълник с лице \( S \). Нека
\[
CD \perp AB, \quad D \in AB,
\]
\[
DM \perp AC, \quad M \in AC,
\]
\[
DN \perp BC, \quad N \in BC.
\]Обозначаваме с \( H_1 \) и \( H_2 \) ортоцентровете на триъгълниците \( MNC \) и \( MND \) съответно.
Намерете лицето на четириъгълника \( AH_1BH_2 \) изразено чрез \( S \).
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
G2
Нека \( \triangle ABC \) е остроъгълен триъгълник с \( AB < AC < BC \) и \( c(O,R) \) е описаната около него окръжност. Начертани са диаметри \( BD \) и \( CE \) на окръжността \( c \).Окръжността \( c_1(A, AE) \), с център в \( A \) и радиус \( AE \), пресича страната \( AC \) в точка \( K \).Окръжността \( c_2(A, AD) \), с център в \( A \) и радиус \( AD \), пресича страната \( BA \) в точка \( L \), като \( A \) лежи между \( B \) и \( L \).Докажете, че правите \( EK \) и \( DL \) се пресичат върху окръжността \( c \).
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
C1
