- Тема
- Участници
- Публикации
- Последна публикация
-
G1
Нека \( \triangle ABC \) е триъгълник с
\[
m(\angle B) = m(\angle C) = 40^\circ.
\]
Ъглополовящата на ъгъл \( B \) пресича страната \( AC \) в точка \( D \). Докажете, че:
\[
BD + DA = BC.
\]Започната от:
в: Геометрия
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
C4
Нека
\[
A = 1 \cdot 4 \cdot 7 \cdots 2014
\]
(т.е. произведението на всички числа от вида \(3k + 1\), по-малки или равни на 2014). Намерете последната ненулева цифра на \(A\), като е известно, че \(A \equiv 1 \pmod{3}\).Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
C3
За положително цяло число \( n \), двама играчи \( A \) и \( B \) играят следната игра: Дадена е купчина с \( s \) камъни, като играчите се редуват, започвайки с \( A \). На всеки ход играчът може да вземе или един камък, или просто просто число камъни, или положителен кратен на \( n \) брой камъни. Печели този, който вземе последния камък.
При условие, че и двамата играчи играят перфектно, за колко стойности на \( s \) играчът \( A \) няма да може да спечели?
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
C2
В страна с \( n \) града всички директни полети са двупосочни (от град \( A \) до град \( B \) и обратно). Има \( r > 2014 \) маршрути между различни двойки градове, които съдържат най-много един междинен престой (насоката на всеки маршрут има значение).
Намерете минималната възможна стойност на \( n \) и минималната възможна стойност на \( r \) за тази стойност на \( n \).
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
C1
На дъската са записани няколко реални числа (най-малко две). При всяка стъпка избираме две от тях, например \( a \) и \( b \), и ги заместваме с числото
\[
\frac{ab}{a+b}.
\]
Продължаваме да повтаряме тази операция, докато на дъската остане само едно число. Докажете, че крайният резултат не зависи от реда, в който избираме числата за заместване.Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
A9
Нека \( n \) е положително цяло число, а \( x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n \) са положителни реални числа, такива че
\[
x_1 + \ldots + x_n = y_1 + \ldots + y_n = 1.
\]Докажете, че:
\[
|x_1 – y_1| + \ldots + |x_n – y_n| \leq 2 – \min_{1 \leq i \leq n} \frac{x_i}{y_i} – \min_{1 \leq i \leq n} \frac{y_i}{x_i}.
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
A8
Нека \( x, y, z \) са положителни реални числа, за които е изпълнено \( xyz = 1 \). Докажете неравенството:
\[
\frac{1}{x(ay + b)} + \frac{1}{y(az + b)} + \frac{1}{z(ax + b)} \geq 3,
\]Където:
- (A) \( a = 0, \quad b = 1 \),
- (B) \( a = 1, \quad b = 0 \),
- (C) \( a + b = 1, \quad a, b > 0 \).
Кога и при какви условия се постига равенство?
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
A7
Нека \( a, b, c \in \mathbb{R}^+ \) и \( a^2 + b^2 + c^2 = 48 \). Докажете неравенството:
\[
a^2\sqrt{2b^3 + 16} + b^2\sqrt{2c^3 + 16} + c^2\sqrt{2a^3 + 16} \leq 24^2.
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
A6
Нека \( a, b, c \) са положителни реални числа. Докажете неравенството:
\[
\left((3a^2+1)^2 + 2\left(1+\frac{3}{b}\right)^2\right)
\left((3b^2+1)^2 + 2\left(1+\frac{3}{c}\right)^2\right)
\left((3c^2+1)^2 + 2\left(1+\frac{3}{a}\right)^2\right)
\geq 48^3.
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
A5
Нека \( x, y, z \) са неотрицателни реални числа, за които е изпълнено:
\[
x + y + z = xyz.
\]
Докажете, че:
\[
2(x^2 + y^2 + z^2) \geq 3(x + y + z).
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
A4
Нека \( a, b, c \in \mathbb{R}^+ \) и \( a + b + c = 1 \). Докажете неравенството:
\[
\frac{7 + 2b}{1 + a} + \frac{7 + 2c}{1 + b} + \frac{7 + 2a}{1 + c} \geq \frac{69}{4}.
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
A3
Нека \( a, b, c \) са положителни реални числа, за които е изпълнено \( abc = 1 \). Докажете неравенството:
\[
\left(a+\frac{1}{b}\right)^2 + \left(b+\frac{1}{c}\right)^2 + \left(c+\frac{1}{a}\right)^2 \geq 3(a + b + c + 1).
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
A2
Нека \( a, b, c \) са положителни реални числа, за които е изпълнено условието \( abc = \dfrac{1}{8} \). Докажете неравенството:
\[
a^2 + b^2 + c^2 + a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \geq \dfrac{15}{16}.
\]
Кога е изпълнено равенство?Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
A1
Намерете всички положителни реални числа \( n \), за които е изпълнено равенството:
\[
n + \lfloor \sqrt{n} \rfloor + \lfloor \sqrt[3]{n} \rfloor = 2014.
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
С5
L-образна фигура е една от следните четири части, всяка състояща се от три единични квадрата:
Дадена е дъска $5 \times 5$, състояща се от $25$ единични квадрата, цяло положително число $k \leq 25$ и неограничен брой L-образни фигури. Двама играчи, А и Б, играят следната игра: започвайки с А, те последователно отбелязват неотбелязан единичен квадрат, докато общо отбележат $k$ единични квадрата.
Казваме, че разполагане на L-образни фигури върху неотбелязаните единични квадрати е добро, ако L-образните фигури не се припокриват и всяка от тях покрива точно три неотбелязани единични квадрата на дъската.
Играч Б печели, ако всяко добро разполагане на L-образни фигури оставя непокрити поне три неотбелязани единични квадрата. Определете минималната стойност на $k$, за която Б има печеливша стратегия.
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
G1
