Цели положителни числа са поставени в следната таблица:

\[
\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline
1 & 3 & 6 & 10 & 15 & 21 & 28 & 36 & & \\ \hline
2 & 5 & 9 & 14 & 20 & 27 & 35 & 44 & & \\ \hline
4 & 8 & 13 & 19 & 26 & 34 & 43 & 53 & & \\ \hline
7 & 12 & 18 & 25 & 33 & 42 & & & & \\ \hline
11 & 17 & 24 & 32 & 41 & & & & & \\ \hline
16 & 23 & & & & & & & & \\ \hline
\vdots & & & & & & & & & \\ \hline
\vdots & & & & & & & & & \\ \hline
\end{array}
\]

Намерете номера на реда и колоната, където се намира числото $2015$.

Дъска $n \times n$ ($n \geq 3$) е разделена на $n^2$ единични квадрата. Цели числа от $0$ до $n$ включително са записани, по едно число във всеки единичен квадрат, така че сумите на числата във всеки квадрат $2 \times 2$ на дъската са различни. Намерете всички $n$, за които съществуват такива дъски.

Намерете всички прости числа $a, b, c$ и положителни цели числа $k$, които удовлетворяват уравнението
\[
a^2 + b^2 + 16c^2 = 9k^2 + 1.
\]

Цяло положително число се нарича специално, ако е съставено само от цифри 1. Специалното число с $n$ цифри се означава с $R_n$. Докажете, че:

а) Специалното число $R_n$ се дели на 3 тогава и само тогава, когато $n$ се дели на 3.

б) Съществува цяло положително число $k$, такова че специалното число $R_n$ се дели на $p$, ако $n$ се дели на $k$, където $p>5$ е просто число.

Нека $ABC$ е остроъгълен триъгълник с $AB \neq AC$. Вписаната окръжност на триъгълника докосва страните $AB$ и $AC$ съответно в $D$ и $E$. Перпендикулярът, от $D$ към $AB$, пресича $AC$ в $P$, а перпендикулярът, от $E$ към $AC$, пресича $AB$ в $Q$. Правата $DP$ пресича отново вписаната окръжност в $X$, а правата $EQ$ пресича отново вписаната окръжност в $Y$. Докажете, че $XY \parallel BC$.

Нека $\omega$ е окръжност с център $O$ и радиус $R$, и $A$, $B$ са две точки на нея, непринадлежащи на един диаметър. Ъглополовящата на ъгъл $\angle AOB$ пресича окръжността в точката $C$, описаната окръжност на триъгълника $OAC$ (нека я означим с $\Gamma_1$) в точката $P$, а описаната окръжност на триъгълника $OBC$ (нека я означим с $\Gamma_2$) в точката $Q$. Докажете, че точката $P$ лежи на описаната окръжност на триъгълника $ABC$ и че точката $Q$ е центърът на вписаната окръжност на триъгълника $ABC$.

Около триъгълник $ABC$ е описана окръжност, и в точка $A$ е прекарана допирателна към тази окръжност. Права $\ell$, която е успоредна на тази допирателна, пресича правите $AB$ и $AC$ съответно в точките $P$ и $Q$. Докажете, че точките $B$, $C$, $P$ и $Q$ принадлежат на една и съща окръжност.