Нека \(a, b, c\) са положителни реални числа, такива че \(a + b + c = 3\). Намерете минималната стойност на израза
\[
A = \frac{2 – a^3}{a} + \frac{2 – b^3}{b} + \frac{2 – c^3}{c}.
\]

Ако \(x^3 – 3\sqrt{3} x^2 + 9x – 3\sqrt{3} – 64 = 0\), намерете стойността на
\[
x^6 – 8x^5 + 13x^4 – 5x^3 + 49x^2 – 137x + 2015.
\]

Нека \(AB\) е хорда на окръжност \((c)\) с център \(O\), и нека \(K\) е точка на отсечката \(AB\), такава че \(AK < BK\). Две окръжности, преминаващи през \(K\), вътрешно допиращи се до \((c)\) съответно в точките \(A\) и \(B\), се пресичат отново в точка \(L\). Нека \(P\) е една от пресечните точки на правата \(KL\) с окръжността \((c)\), и нека правите \(AB\) и \(LO\) се пресичат в точка \(M\). Докажете, че правата \(MP\) е допирателна към окръжността \((c)\).

Нека \(\triangle ABC\) е остроъгълен триъгълник с ортоцентър \(H\) и център на описаната окръжност \(O\). Да предположим, че центърът на описаната окръжност \(X\) на триъгълника \(BHC\) лежи на описаната окръжност на \(ABC\). Симетрираме \(O\) спрямо \(X\), за да получим \(O’\), и нека правите \(XH\) и \(O’A\) се пресичат в точка \(K\). Нека \(L\), \(M\) и \(N\) са средите съответно на отсечките \([XB]\), \([XC]\) и \([BC]\). Докажете, че точките \(K\), \(L\), \(M\) и \(N\) лежат на една окръжност.

Трапец \(ABCD\) (\(AB \parallel CD\), \(AB > CD\)) е описан. Вписаната окръжност на триъгълника \(ABC\) докосва правите \(AB\) и \(AC\) съответно в точките \(M\) и \(N\). Докажете, че центърът на вписаната окръжност на трапеца \(ABCD\) лежи на правата \(MN\).

Нека \(\triangle ABC\) е остроъгълен триъгълник, \(O\) е неговият център на описаната окръжност, а точките \(D, E, F\) лежат съответно на страните \(BC, CA, AB\). Окръжността \((c_1)\) с радиус \(FA\) и център \(F\) пресича отсечката \(OA\) в точка \(A’\) и описаната окръжност \((c)\) на триъгълника \(ABC\) отново в точка \(K\). Аналогично, окръжността \((c_2)\) с радиус \(DB\) и център \(D\) пресича отсечката \(OB\) в точка \(B’\) и окръжността \((c)\) отново в точка \(L\). Накрая, окръжността \((c_3)\) с радиус \(EC\) и център \(E\) пресича отсечката \(OC\) в точка \(C’\) и окръжността \((c)\) отново в точка \(M\). Докажете, че четириъгълниците \(BKF{A}’\), \(CLD{B}’\) и \(AME{C}’\) са вписани, и техните описани окръжности имат обща точка.

Намерете всички тройки цели числа \((a, b, c)\), такива че числото
\[
N = \frac{(a – b)(b – c)(c – a)}{2} + 2
\]
е степен на \(2016\).

(Степен на \(2016\) е цяло число от вида \(2016^n\), където \(n\) е неотрицателно цяло число.)

Намерете максималния брой естествени числа \(x_1, x_2, \dots, x_m\), които удовлетворяват следните условия:

1. Нито една разлика \(x_i – x_j\), за \(1 \leq i < j \leq m\), не се дели на \(11\).
2. Сумата
   \[
   x_2 x_3 \dots x_m + x_1 x_3 \dots x_m + \cdots + x_1 x_2 \dots x_{m-1}
   \]
   се дели на \(11\).