- Тема
- Участници
- Публикации
- Последна публикация
-
N1
Определете най-голямото положително цяло число \(n\), което дели \(p^6 – 1\) за всички прости числа \(p > 7\).
Започната от:
в: Теория на числата
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
С4
Разделяне на многоъгълник е краен брой триъгълници, чиито вътрешности са две по две непресичащи се и чието обединение е самият многоъгълник. За дадено цяло число \(n \geq 3\), определете най-голямото цяло число \(m\), такова че никой \(n\)-ъгълник не може да бъде разделен на по-малко от \(m\) триъгълника.
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
C3
Таблица \(5 \times 5\) се нарича регулярна, ако всяка от нейните клетки съдържа едно от четири две по две различни реални числа, така че всяко от тях се среща точно веднъж във всяка подтаблица \(2 \times 2\). Сумата от всички числа в регулярна таблица се нарича обща сума на таблицата. С произволни четири числа се конструират всички възможни регулярни таблици, изчисляват се техните общи суми и се броят различните резултати. Определете максималния възможен брой на различните резултати.
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
С2
Естествените числа от \(1\) до \(50\) са записани на дъска. Най-малко колко от тях трябва да бъдат изтрити, за да няма две останали числа, чиято сума е просто число?
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
С1
Нека \(S_n\) е сумата от реципрочните стойности на ненулевите цифри на всички положителни цели числа до (включително) \(n\). Например,
\[S_{13} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13}
.\]
Намерете най-малкото положително цяло число \(k\), такова че числото \(k! \cdot S_{2016}\) е цяло.Започната от:
- 0
- 1
- преди 1 year, 5 months
-
А5
Нека \(x, y, z\) са положителни реални числа, такива че \(x + y + z = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\). Докажете, че
\[
x + y + z \geq \sqrt{\frac{xy + 1}{2}} + \sqrt{\frac{yz + 1}{2}} + \sqrt{\frac{zx + 1}{2}}.
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
А4
Ако неотрицателните реални числа \(x, y, z\) удовлетворяват \(x^2 + y^2 + z^2 = x + y + z\), докажете, че
\[
\frac{x+1}{\sqrt{x^5 + x + 1}} + \frac{y+1}{\sqrt{y^5 + y + 1}} + \frac{z+1}{\sqrt{z^5 + z + 1}} \geq 3.
\]
Кога се достига равенство?Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
А3
Намерете всички двойки цели числа \((m, n)\), такива че
\[
\sqrt{n + \sqrt{2016}} + \sqrt{m – \sqrt{2016}} \in \mathbb{Q}.
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
А2
Нека \(a, b, c\) са положителни реални числа. Докажете, че
\[
\frac{8}{(a+b)^2 + 4abc} + \frac{8}{(b+c)^2 + 4abc} + \frac{8}{(a+c)^2 + 4abc} + a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{8}{a+3} + \frac{8}{b+3} + \frac{8}{c+3}.
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
А1
Нека \(a, b, c\) са положителни реални числа, такива че \(abc = 8\). Докажете, че
\[
\frac{ab + 4}{a + 2} + \frac{bc + 4}{b + 2} + \frac{ca + 4}{c + 2} \geq 6.
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
G5
Точката \(P\) лежи във вътрешността на триъгълника \(ABC\). Правите \(AP\), \(BP\) и \(CP\) пресичат страните \(BC\), \(CA\) и \(AB\) съответно в точките \(D\), \(E\) и \(F\).
Докажете, че ако двa от шестте четириъгълника
\[
ABDE, \quad BCEF, \quad CAFD, \quad AEPF, \quad BFPD, \quad CDPE
\]
са вписани в окръжност, то всички шест са вписани в окръжност.Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
G4
Нека \(ABC\) е остроъгълен триъгълник с \(AB \neq AC\), с описана окръжност \(\Gamma\) и център \(O\). Нека \(M\) е средата на отсечката \(BC\), а \(D\) е точка върху \(\Gamma\), такава че
\[
AD \perp BC.
\]Нека \(T\) е точка, така че четириъгълникът \(BDCT\) е успоредник, и \(Q\) — точка от същата страна на \(BC\) като \(A\), за която
\[
\angle BQM = \angle BCA \quad \text{и} \quad \angle CQM = \angle CBA.
\]Нека правата \(AO\) пресича \(\Gamma\) в точка \(E\), като \(E \neq A\), и нека описаната окръжност на триъгълника \(ETQ\) пресича \(\Gamma\) отново в точка \(X \neq E\).
Докажете, че точките \(A\), \(M\) и \(X\) лежат на една права.
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
G3
Нека \(ABC\) е триъгълник с \(AB \leq AC\). Точка \(D\) лежи на дъгата \(BC\) от описаната окръжност на \(ABC\), която не съдържа точката \(A\), а точка \(E\) лежи на отсечката \(BC\), такива че
\[
\angle BAD = \angle CAE < \frac{1}{2} \angle BAC. \]Нека \(S\) е средната точка на отсечката \(AD\). Ако \[ \angle ADE = \angle ABC - \angle ACB, \] то докажете, че \[ \angle BSC = 2 \angle BAC. \]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
G2
Нека \(ABC\) е остроъгълен триъгълник, в който страната \(AB\) е най-късата. Нека \(D\) е средната точка на отсечката \(AB\), а \(P\) — вътрешна точка на триъгълника, за която
\[
\angle CAP = \angle CBP = \angle ACB.
\]Нека \(M\) и \(N\) са проекциите на точката \(P\) съответно върху страните \(BC\) и \(AC\). Нека \(p\) е правата, минаваща през \(M\) и успоредна на \(AC\), а \(q\) — правата, минаваща през \(N\) и успоредна на \(BC\). Нека \(K\) е пресечната точка на правите \(p\) и \(q\).
Докажете, че точката \(D\) е център на описаната окръжност на триъгълника \(MNK\).
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
G1
Нека \(ABCD\) е успоредник. Правата, перпендикулярна на диагонала \(AC\) и минаваща през точка \(C\), и правата, перпендикулярна на диагонала \(BD\) и минаваща през точка \(A\), се пресичат в точка \(P\).
Окръжността с център \(P\) и радиус \(PC\) пресича правата \(BC\) в точка \(X\), различна от \(C\), и правата \(DC\) в точка \(Y\), различна от \(C\).
Докажете, че правата \(AX\) минава през точка \(Y\).
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
N1
