- Тема
- Участници
- Публикации
- Последна публикация
-
А1
Намерете всички наредени двойки положителни цели числа \((a, b)\), за които е изпълнено неравенството:
\[
11ab \leq a^3 – b^3 \leq 12ab.
\]Започната от:
в: Алгебра
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
Г5
Нека \(D, E, F\) са допирните точки на вписаната окръжност на даден триъгълник \(ABC\) със страните \(BC, CA, AB\) съответно. Да означим с \(I\) инцентъра на триъгълника \(ABC\), с \(M\) средата на страната \(BC\), а с \(G\) петата на перпендикуляра от точка \(M\) към правата \(EF\). Докажете, че правата \(ID\) се допира към описаната окръжност на триъгълника \(MGI\).
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
N6
Версия 1: Намерете всички прости числа \(p\), които отговарят на следните условия:
(i) \(\frac{p+1}{2}\) е простото число. \\
(ii) Има поне три различни положителни цели числа \(n\), за които \(\frac{p^2 + n}{p + n^2}\) е цяло число.Версия 2: Нека \(p \neq 5\) е просто число, такова че \(\frac{p+1}{2}\) също е просто число. Да се предположи, че съществуват положителни цели числа \(a < b\), така че \(\frac{p^2 + a}{p + a^2}\) и \(\frac{p^2 + b}{p + b^2}\) са цели числа. Докажете, че \(b = (a - 1)^2 + 1\).
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
N5
Намерете най-голямото положително цяло число \(k\), такова че можем да намерим подмножество \(A \subseteq \{1, 2, \ldots, 100\}\) с \(k\) елемента, така че за всяко \(a, b \in A\) да е изпълнено, че \(a\) дели \(b\) тогава и само тогава, когато \(s(a)\) дели \(s(b)\), където \(s(k)\) е сумата на цифрите на числото \(k\).
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
N4
Триъгълникът \(ABC\) е разделен от правите \(AD\), \(BE\) и \(CF\) (където \(D \in (BC)\), \(E \in (CA)\) и \(F \in (AB)\)) в седем непокрити полигона, наречени региони. Във всяка от деветте върха на тези региони пишем цифра, като всяка ненулева цифра се появява точно веднъж. На всяка страна на региона присвояваме най-малкото общо кратно на цифрите, разположени в краищата ѝ, а на всеки регион — най-голямото общо делимо на числата, присвоени на неговите страни.
Намерете най-голямата възможна стойност на произведението на числата, присвоени на регионите.
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
N3
Нека \(A\) е подмножество на \(\{2, 3, \ldots, 28\}\) с условието, че ако \(a \in A\), то остатъкът от делението на \(a^2\) на \(29\) също принадлежи на \(A\).
Намерете най-малката възможна стойност на \(|A|\).
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
N2
Положително цяло число се нарича \textit{тиранианско}, ако може да се представи във вида \(x^2 + 6xy + y^2\), където \(x\) и \(y\) са (не непременно различни) положителни цели числа. Числото \(36^{2023}\) е представено като сума от \(k\) тираниански числа. Каква е най-малката възможна стойност на \(k\)?
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
N1
Намерете всички наредени двойки от положителни цели числа \((a, b)\), за които числата \(a! + b\) и \(b! + a\) са степени на числото 5.
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
Г7
Нека $D$ и $E$ са произволни точки съответно върху страните $BC$ и $AC$ на триъгълника $ABC$. Описаната окръжност на триъгълника $ADC$ пресича за втори път описаната окръжност на триъгълника $BCE$ в точка $F$. Правата $FE$ пресича правата $AD$ в точка $G$, а правата $FD$ пресича правата $BE$ в точка $H$. Докажете, че правите $CF$, $AH$ и $BG$ се пресичат в една точка.
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
Г6
Нека $ABC$ е остроъгълен триъгълник с център $O$ на описаната му окръжност. Нека $D$ е основата на височината от върха $A$ към страната $BC$, а $M$ е средата на отсечката $OD$. Точките $O_b$ и $O_c$ са центровете на описаните окръжности съответно на триъгълниците $AOC$ и $AOB$. Ако $AO = AD$, докажете, че точките $A$, $O_b$, $M$ и $O_c$ лежат на една окръжност.
Марин Христов и Божидар Димитров, България
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
Г4
Нека $ABCD$ е вписан четириъгълник, при който ъглите при върховете $B$ и $C$ са остри. Нека $M$ и $N$ са проекциите на върха $B$ съответно върху правите $AC$ и $AD$, а $P$ и $T$ са проекциите на върха $D$ съответно върху правите $AB$ и $AC$. Нека $Q$ и $S$ са пресечните точки на правите $MN$ и $CD$, и $PT$ и $BC$.
Докажете следните твърдения:
а) Докажете, че $NS \parallel PQ \parallel AC$.б) Докажете, че $NP = SQ$.
в) Докажете, че четириъгълникът $NPQS$ е правоъгълник тогава и само тогава, когато $AC$ е диаметър на описаната около четириъгълника $ABCD$ окръжност.
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
Г3
Нека $A, B, C, D$ и $E$ бъдат пет точки, лежащи в този ред на окръжност, така че $AD = BC$. Правите $AD$ и $BC$ се пресичат в точка $F$. Окръжностите, описани около триъгълниците $CEF$ и $ABF$, се пресичат отново в точка $P$.
Докажете, че описаните окръжности около триъгълниците $BDF$ и $BEP$ сe допират.
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
A1
Докажете, че за всички положителни реални числа \(a, b, c, d\),
\[
\frac{2}{(a+b)(c+d) + (b+c)(a+d)} \leq \frac{1}{(a+c)(b+d) + 4ac} + \frac{1}{(a+c)(b+d) + 4bd}
\]и определете кога се достига равенство.
Започната от:
- 1
- 2
- преди 1 year, 6 months
-
Г2
Нека $ABC$ е триъгълник с $AB < AC$ и $\omega$ е описаната му окръжност. Тангенциалната права към $\omega$ в точка $A$ пресича правата $BC$ в точка $D$, а точка $E$ лежи на $\omega$ така, че $BE \parallel AD$. Правата $DE$ пресича отсечката $AB$ в точка $F$ и окръжността $\omega$ отново в точка $G$. Окръжността, описана около триъгълника $BGF$, пресича правата $BE$ в точка $N$. Правата $NF$ пресича правите $AD$ и $EA$ в точки $S$ и $T$ съответно. Докажете, че четириъгълникът $DGST$ е вписан.
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
Г1
Нека \(ABC\) е триъгълник с център на описаната окръжност \(O\) и описана окръжност \(\Omega\). Окръжността \(\Gamma\) минава през \(O, B\) и се допира до \(AB\) в точка \(B\). Нека \(\Gamma\) пресича \(\Omega\) за втори път в точка \(P \neq B\). Окръжността, минаваща през \(P, C\) и допираща се до \(AC\) в точка \(C\), пресича \(\Gamma\) в точка \(M\). Докажете, че \(|MP| = |MC|\).
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
А1
