- Тема
- Участници
- Публикации
- Последна публикация
-
N5
Намерете всички положителни цели числа \(n\), за които съществува просто число \(p\), такова че числото
\[
p^n – (p-1)^n
\]
да е степен на \(3\).Започната от:
в: Теория на числата
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
N4
Да се намерят всички решения в неотрицателни цели числа на уравнението
\[
5^t + 3^x 4^y = z^2.
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
N3
Намерете всички двойки положителни цели числа \((x,y)\), такива че числото
\[
2^x + 3^y
\]
да е квадрат на цяло число.Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
N2
Да се определят всички положителни цели числа \(n\), за които
\[
n^2 \mid (n-1)!.
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
N1
Да се определят всички множества от шест последователни положителни цели числа, такива че сборът от произведението на някои две от тях и произведението на други две от тях да е равен на произведението на останалите две числа.
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
С3
Имаме две купчини с по \(2000\) и \(2017\) монети.
Ан и Боб играят на смени, като всеки ход се състои в следното:
Играчът, който е на ход, избира купчина, в която има поне две монети, изважда от нея \(t\) монети, където \(2 \le t \le 4\), и добавя една монета към другата купчина. Играчите могат да избират различна стойност на \(t\) при всеки ход.Играч, който не може да направи ход, губи.
Ако Ан играе първа, определете кой играч има печеливша стратегия.
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
С2
Нека \(P = A_1A_2 \cdots A_{2n}\) е правилен многоъгълник с \(2n\) страни в равнината, където \(n\) е положително цяло число. Казваме, че точка \(S\), лежаща на някоя от страните на \(P\), се вижда от точка \(E\), намираща се извън \(P\), ако отсечката \(SE\) не съдържа други точки, лежащи върху страните на \(P\), освен \(S\).
Оцветяваме страните на \(P\) с 3 различни цвята (игнорираме върховете на \(P\), които считаме за безцветни), така че всяка страна да е оцветена в точно един цвят и всеки цвят да се използва поне веднъж. Освен това, от всяка точка извън \(P\), могат да се видят най-много 2 различни цвята на страните на \(P\).
Намерете броя на всички различни такива оцветявания на \(P\) (две оцветявания се считат за различни, ако поне една страна е оцветена различно).
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
С1
Нека \(P\) е правилен многоъгълник с \(2n + 1\) страни в равнината, където \(n\) е положително цяло число. Казваме, че точка \(S\), намираща се на някоя от страните на \(P\), се вижда от външна спрямо \(P\) точка \(E\), ако отсечката \(SE\) не съдържа други точки, лежащи върху страните на \(P\), освен \(S\).
Искаме да оцветим страните на \(P\) в 3 цвята, така че всяка страна да е оцветена в точно един цвят, като всеки цвят да бъде използван поне веднъж. Освен това, от всяка точка, която се намира извън \(P\), да се виждат най-много 2 различни цвята (да не се броят върховете на \(P\), които считаме за безцветни).
Намерете най-голямото положително цяло число \(n\), за което такова оцветяване е възможно.
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
A4
Нека \(x, y, z\) са положителни цели числа, такива че \(x \ne y \ne z \ne x\). Да се докаже, че:
\[
(x + y + z)(xy + yz + zx – 2) \geq 9xyz.
\]
Кога се достига равенството?Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
A3
Нека \(a \le b \le c \le d\). Да се докаже, че:
\[
ab^3 + bc^3 + cd^3 + da^3 \ge a^2b^2 + b^2c^2 + c^2d^2 + d^2a^2.
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
A2
Нека \(a\) и \(b\) са положителни реални числа, такива че:
\[
3a^2 + 2b^2 = 3a + 2b.
\]
Да се намери минималната стойност на израза:
\[
A = \sqrt{\frac{a}{b(3a+2)}} + \sqrt{\frac{b}{a(2b+3)}}.
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
А1
Нека \(a, b, c\) са положителни реални числа, такива че:
\[
a + b + c + ab + bc + ca + abc = 7.
\]
Да се докаже, че:
\[
\sqrt{a^2 + b^2 + 2} + \sqrt{b^2 + c^2 + 2} + \sqrt{c^2 + a^2 + 2} \ge 6.
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
G6
Нека \(XY\) е хорда на окръжност \( \Omega \) с център \(O\), която не е диаметър. Нека \(P\) и \(Q\) са две различни точки от вътрешността на отсечката \(XY\), като \(Q\) лежи между \(P\) и \(X\). Нека \( \ell \) е перпендикулярната права, спусната от точка \(P\) към диаметъра, който минава през точка \(Q\). Нека \(M\) е пресечната точка на \( \ell \) с окръжността \( \Omega \), която е по-близо до точка \(P\).
Да се докаже, че:
\[
MP \cdot XY \ge 2 \cdot QX \cdot PY.
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
G5
Нека \(ABCD\) е правоъгълник с \(AB = b > 2a = BC\). Нека \(E\) е средата на отсечката \(AD\). През точка \(E\), по права успоредна на \(AB\), е избрана точка \(G\) така, че лицето на триъгълника \(GCE\) е:
\[
S_{GCE} = \frac{1}{2} \left(\frac{a^3}{b} + ab \right).
\]
Нека \(H\) е петата на перпендикуляра от \(E\) към правата \(GD\), а точка \(I\) лежи върху диагонала \(AC\), така че триъгълниците \(ACE\) и \(AEI\) са подобни. Нека правите \(BH\) и \(IE\) се пресичат в точка \(K\), а правите \(CA\) и \(EH\) се пресичат в точка \(J\).Да се докаже, че \(KJ \perp AB\).
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
G4
Нека \( \triangle ABC \) е триъгълник със страни \( a, b, c \), вписан в окръжност с радиус \( R \), и нека \( I \) е неговият център на вписаната окръжност. Нека \( P_1, P_2 \) и \( P_3 \) са лицата на триъгълниците \( \triangle ABI, \triangle BCI \) и \( \triangle CAI \), съответно. Докажете, че:
\[
\frac{R^4}{P_1^2} + \frac{R^4}{P_2^2} + \frac{R^4}{P_3^2} \geq 16.
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
N5
