- Тема
- Участници
- Публикации
- Последна публикация
-
G3
Нека \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) са симетричните точки на върховете \(A\), \(B\) и \(C\) съответно спрямо срещулежащите им страни. Пресечната точка на описаните окръжности за \( \triangle BCA_1 \) и \( \triangle CAB_1 \) е \(P_C\). Точките \(P_A\) и \(P_B\) са дефинирани по аналогичен начин. Докажете, че правите \(AP_A\), \(BP_B\) и \(CP_C\) се пресичат в една точка.
Започната от:
в: Геометрия
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
G2
Нека \( ABC \) е правоъгълен триъгълник с \( \angle A = 90^\circ \) и \( AD \) е неговата височина. Правите от \( D \) успоредни на катетите на триъгълника, които пресичат \( AB \) и \( AC \) съответно в точки \( E \) и \( Z \). Успоредната права от \( C \) на \( EZ \) пресича правата \( AB \) в точка \( N \). Нека \( A’ \) е симетричната точка на \( A \) спрямо правата \( EZ \), а \( I \) и \( K \) са проекциите на \( A’ \) съответно върху \( AB \) и \( AC \). Ако \( T \) е пресечната точка на правите \( IK \) и \( DE \), докажете, че \( \angle NA’T = \angle ADT \).
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
G1
Нека \( H \) е ортоцентърът на остроъгълен триъгълник \( ABC \) с \( BC > AC \), вписан в окръжност \( \Gamma \). Окръжността с център \( C \) и радиус \( CB \) пресича \( \Gamma \) в точка \( D \), която лежи на дъгата \( AB \), която не съдържа \( C \). Окръжността с център \( C \) и радиус \( CA \) пресича отсечката \( CD \) в точка \( K \). Правата, успоредна на \( BD \), преминаваща през \( K \), пресича \( AB \) в точка \( L \). Ако \( M \) е средата на \( AB \) и \( N \) е основата на перпендикуляра от \( H \) към \( CL \), докажете, че правата \( MN \) разполовява отсечката \( CH \).
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
N4
Докажете, че съществуват безкрайно много положителни цели числа \( n \), такива че:
\[
\frac{4^n + 2^n + 1}{n^2 + n + 1}
\]
е положително цяло число.Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
N3
Намерете всички четирицифрени положителни цели числа \( \overline{abcd} = 10^3a + 10^2b + 10c + d \) (където \( a \neq 0 \)), такива че:
\[
\overline{abcd} = a^{a+b+c+d} – a^{-a+b-c+d} + a.
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
N2
Намерете всички наредени двойки от положителни цели числа \( (m, n) \), такива че:
\[
125 \cdot 2^n – 3^m = 271.
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
N1
Намерете всички цели числа \( m \) и \( n \), такива че:
\[
m^5 – n^5 = 16mn.
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
С3
Клетките на таблица с размери \( 8 \times 8 \) първоначално са бели. Алис и Боб играят игра. Първо Алис оцветява \( n \) от клетките в червено. След това Боб избира 4 реда и 4 колони от таблицата и оцветява всички клетки в тях в черно. Алис печели, ако остане поне една червена клетка. Намерете най-малката стойност на \( n \), такава че Алис да може да спечели играта, независимо как играе Боб.
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
С2
Намерете максималния брой \( n \) на трицифрени числа, такива че:
- Всяко число има сума на цифрите равна на \( 9 \).
- Никое число не съдържа цифрата \( 0 \).
- Всяка двойка числа има различни единични цифри.
- Всяка двойка числа има различни десетични цифри.
- Всяка двойка числа има различни стотици цифри.
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
С1
Множество \( S \) се нарича съседно, ако притежава следните две свойства:
- \( S \) има точно четири елемента.
- За всеки елемент \( x \) от \( S \), поне едно от числата \( x – 1 \) или \( x + 1 \) принадлежи на \( S \).
Намерете броя на всички съседни подмножества на множеството \( \{1, 2, \ldots, n\} \).
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
А7
Нека \( A \) е множество от положителни цели числа, удовлетворяващо следните условия:
- Ако \( n \in A \), тогава \( n \leq 2018 \).
- Ако \( S \subset A \) е такова, че \( |S| = 3 \), тогава съществуват \( m, n \in S \), такива че \( |n – m| \geq \sqrt{n} + \sqrt{m} \).
Каква е максималната мощност на \( A \)?
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
А6
Нека \( a, b, c \) са положителни реални числа, такива че:
- \( ab + bc + ca = 3 \).
Докажете, че:
\[
\frac{a}{\sqrt{a^3 + 5}} + \frac{b}{\sqrt{b^3 + 5}} + \frac{c}{\sqrt{c^3 + 5}} \leq \frac{\sqrt{6}}{2}.
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
А5
Нека \( a, b, c, d \) и \( x, y, z, t \) са реални числа, такива че:
- \( 0 \leq a, b, c, d \leq 1 \),
- \( x, y, z, t \geq 1 \),
- \( a + b + c + d + x + y + z + t = 8 \).
Докажете, че:
\[
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + x^2 + y^2 + z^2 + t^2 \leq 28.
\]Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
А4
Нека \( k > 1, n > 2018 \) са положителни цели числа и \( n \) е нечетно. Ненулевите рационални числа \( x_1, x_2, \ldots, x_n \), които не са всички равни, удовлетворяват: \[ x_1 + \frac{k}{x_2} = x_2 + \frac{k}{x_3} = x_3 + \frac{k}{x_4} = \ldots = x_{n-1} + \frac{k}{x_n} = x_n + \frac{k}{x_1}. \] Намерете:
- произведението \( x_1 x_2 \ldots x_n \) като функция на \( k \) и \( n \);
- най-малката стойност на \( k \), такава че да съществуват \( n, x_1, x_2, \ldots, x_n \), удовлетворяващи дадените условия.
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
А3
Нека \( a, b, c \) са положителни реални числа. Докажете, че: \[ \frac{1}{ab(b+1)(c+1)} + \frac{1}{bc(c+1)(a+1)} + \frac{1}{ca(a+1)(b+1)} \geq \frac{3}{(1 + abc)^2}. \]
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
G3
