- Тема
- Участници
- Публикации
- Последна публикация
-
A2
Нека \( m, n \) са положителни цели числа, такива че \( m^3 + n^3 > (m + n)^2 \). Намерете най-голямото положително цяло число \( k \), такова че: \[ m^3 + n^3 \geq (m + n)^2 + k \]
Започната от:
в: Алгебра
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
A1
Нека \(x, y, z\) са положителни реални числа. Докажете, че: \[ \frac{x}{\sqrt{\sqrt[4]{y} + \sqrt[4]{z}}} + \frac{y}{\sqrt{\sqrt[4]{z} + \sqrt[4]{x}}} + \frac{z}{\sqrt{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}}} \geq \frac{\sqrt[4]{(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})^7}}{\sqrt{2\sqrt{27}}} \]
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 5 months
-
N7
Намерете всички точни квадрати \( n \), такива че ако положителното цяло число \( a \geq 15 \) е делител на \( n \), тогава \( a + 15 \) е степен на просто число.
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 6 months
-
N6
Нека \( a, b, c \) са неотрицателни цели числа. Решете уравнението: \[ a! + 5^b = 7^c. \]
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 6 months
-
N5
Намерете всички положителни цели числа \( x, y, z \), такива че \[ 45^x – 6^y = 2019^z. \]
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 6 months
-
N4
Намерете всички цели числа \( x, y \), такива че \[ x^3(y + 1) + y^3(x + 1) = 19. \]
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 6 months
-
N3
Намерете всички прости числа \( p \) и неотрицателни цели числа \( x \neq y \), такива че \[ x^4 – y^4 = p(x^3 – y^3). \]
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 6 months
-
N2
Намерете всички тройки \( (p, q, r) \) от прости числа, такива че всички следващи числа са цели: \[ \frac{p^2 + 2q}{q + r}, \quad \frac{q^2 + 9r}{r + p}, \quad \frac{r^2 + 3p}{p + q}. \]
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 6 months
-
N1
Намерете всички прости числа \( p \), за които съществуват положителни цели числа \( x \), \( y \) и \( z \), такива че числото \[ x^p + y^p + z^p – x – y – z \] е произведение на точно три различни прости числа.
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 6 months
-
Г6
Нека \( ABC \) е триъгълник, който не е равнобедрен, с център на вписаната окръжност \( I \). Нека \( D \) е точка на отсечката \( BC \), такава че описаната окръжност на \( BID \) пресича отсечката \( AB \) в \( E \neq B \), а описаната окръжност на \( CID \) пресича отсечката \( AC \) в \( F \neq C \). Описаната окръжност на \( DEF \) пресича \( AB \) и \( AC \) във вторите точки \( M \) и \( N \), съответно. Нека \( P \) е пресечната точка на правите \( IB \) и \( DE \), а \( Q \) е пресечната точка на правите \( IC \) и \( DF \). Докажете, че трите прави \( EN \), \( FM \) и \( PQ \) са успоредни.
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 6 months
-
Г7
Нека \( ABC \) е правоъгълен триъгълник с \( \angle A = 90^\circ \). Нека \( K \) е средата на \( BC \), и нека \( AKLM \) е успоредник, на който диагоналите се пресичат в \( C \). Нека \( T \) е пресечната точка на правите \( AC \) и симетралата на \( BM \). Нека \( \omega_1 \) е окръжност с център \( C \) и радиус \( CA \), а \( \omega_2 \) е окръжност с център \( T \) и радиус \( TB \). Докажете, че една от пресечните точки на \( \omega_1 \) и \( \omega_2 \) лежи на правата \( LM \).
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 6 months
-
Г6
Нека \( ABC \) е триъгълник, който не е равнобедрен, с център на вписаната окръжност \( I \). Нека \( D \) е точка на отсечката \( BC \), такава че описаната окръжност на \( BID \) пресича отсечката \( AB \) в \( E \neq B \), а описаната окръжност на \( CID \) пресича отсечката \( AC \) в \( F \neq C \). Описаната окръжност на \( DEF \) пресича \( AB \) и \( AC \) във вторите точки \( M \) и \( N \), съответно. Нека \( P \) е пресечната точка на правите \( IB \) и \( DE \), а \( Q \) е пресечната точка на правите \( IC \) и \( DF \). Докажете, че трите прави \( EN \), \( FM \) и \( PQ \) са успоредни.
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 6 months
-
Г5
Нека \( P \) е точка във вътрешността на триъгълник \( ABC \). Правите \( AP \), \( BP \) и \( CP \) пресичат отново описаните окръжности на триъгълниците \( PBC \), \( PCA \) и \( PAB \) съответно в точките \( D \), \( E \) и \( F \). Докажете, че \( P \) е ортоцентър на триъгълника \( DEF \) тогава и само тогава, когато \( P \) е център на вписаната окръжност на триъгълника \( ABC \).
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 6 months
-
Г4
Триъгълник \( ABC \) е такъв, че \( AB < AC \). Симетралата на страната \( BC \) пресича правите \( AB \) и \( AC \) съответно в точките \( P \) и \( Q \). Нека \( H \) е ортоцентърът на триъгълника \( ABC \), а \( M \) и \( N \) са средите съответно на отсечките \( BC \) и \( PQ \). Докажете, че правите \( HM \) и \( AN \) се пресичат върху описаната окръжност на \( ABC \).
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 6 months
-
Г3
Нека \( ABC \) е триъгълник с център на вписаната окръжност \( I \). Точките \( D \) и \( E \) лежат съответно на отсечките \( CA \) и \( BC \), така че \( CD = CE \). Нека \( F \) е точка на отсечката \( CD \). Докажете, че четириъгълникът \( ABEF \) е описан тогава и само тогава, когато четириъгълникът \( DIEF \) е вписан.
Започната от:
- 0
- 1
-
преди 1 year, 6 months
-
A2
