Нека \( ABC \) е триъгълник с описана окръжност \( \omega \). Нека \( l_B \) и \( l_C \) са две прави, минаващи съответно през точките \( B \) и \( C \), такива че \( l_B \parallel l_C \). Вторите пресечни точки на \( l_B \) и \( l_C \) с \( \omega \) са съответно \( D \) и \( E \). Да предположим, че \( D \) и \( E \) са от същата страна на \( BC \) като \( A \). Нека \( DA \) пресича \( l_C \) в \( F \), а \( EA \) пресича \( l_B \) в \( G \). Ако \( O \), \( O_1 \) и \( O_2 \) са центровете на описаните окръжности на триъгълниците \( ABC \), \( ADG \) и \( AEF \), съответно, и \( P \) е центърът на описаната окръжност на триъгълника \( OO_1O_2 \), докажете, че \( l_B \parallel OP \parallel l_C \).

Икономист и статистик играят игра на калкулатор, който извършва само една операция. Калкулаторът показва само положителни цели числа и се използва по следния начин: Обозначаваме с \( n \) цяло число, показано на калкулатора. Играчът въвежда цяло число \( m \), избрано от множеството \( \{1, 2, \dots, 99\} \) на първите 99 положителни цели числа, и ако \( m\% \) от числото \( n \) е отново положително цяло число, тогава калкулаторът показва \( m\% \) от \( n \). В противен случай калкулаторът показва съобщение за грешка и тази операция не е разрешена. Играта се състои в последователно извършване на тези операции, като играчът, който не може да извърши операция, губи. Колко числа от \( \{1, 2, \dots, 2019\} \) гарантират печеливша стратегия за статистика, който играе втори?

Например, ако калкулаторът показва \( 1200 \), икономистът може да въведе \( 50 \), което дава числото \( 600 \) на калкулатора, след това статистикът може да въведе \( 25 \), което дава числото \( 150 \). Сега, например, икономистът не може да въведе \( 75 \), тъй като \( 75\% \) от \( 150 \) не е положително цяло число, но може да избере \( 40 \) и играта продължава, докато един от тях не може да въведе разрешено число.

Таблица с размери \( 5 \times 100 \) е разделена на \( 500 \) единични квадратни клетки, от които \( n \) са оцветени в черно, а останалите са оцветени в бяло. Две единични квадратни клетки се наричат съседни, ако споделят обща страна. Всяка от единичните квадратни клетки има най-много две съседни черни единични квадратни клетки. Намерете най-голямата възможна стойност на \( n \).

Нека \( S \) е множество от \( 100 \) положителни цели числа, притежаващо следното свойство: „Сред всякакви четири числа от \( S \), има число, което дели всяко от останалите три, или има число, което е равно на сумата на останалите три.“ Докажете, че множеството \( S \) съдържа число, което дели всички останали \( 99 \) числа от \( S \).

Нека \( a, b, c \) са положителни реални числа. Докажете неравенството \[ (a^2 + ac + c^2) \left( \frac{1}{a + b + c} + \frac{1}{a + c} \right) + b^2 \left( \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + b} \right) > a + b + c. \]

Нека \( a \), \( b \) са две различни реални числа и нека \( c \) е положително реално число, такова че \[ a^4 – 2019a = b^4 – 2019b = c. \] Докажете, че \[ -\sqrt{c} < ab < 0. \]

Нека \( a, b, c \) са положителни реални числа, такива че \( abc = \frac{2}{3} \). Докажете, че: \[ \frac{ab}{a + b} + \frac{bc}{b + c} + \frac{ca}{c + a} \geqslant \frac{a + b + c}{a^3 + b^3 + c^3}. \]

Намерете всички прости числа \( p \) и \( q \), за които изразът
\[
1 + \frac{p^q – q^p}{p + q}
\]
е просто число.