- Тема
- Участници
- Публикации
- Последна публикация
-
A1
Да намерим всички тройки $(a, b, c)$ от реални числа, за които е изпълнена системата:
\[
a + b + c = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}, \]
\[ a^2 + b^2 + c^2 = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2}
\]Започната от:
в: Алгебра
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
С6
Дадена е таблица с размери \( m \times n \), състояща се от \( mn \) единични клетки. Алиса и Боб играят следната игра: Алиса започва първа и всеки ход тя оцветява една от празните клетки в един от трите дадени цвята. Алиса печели, ако се формира фигура, подобна на показаните по-долу, съдържаща три различни цвята. В противен случай Боб печели. Определете победителя за всички случаи, когато \( m, n \ge 3 \).
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
С5
Нека \( M \) бъде подмножество на множеството от 2021 цели числа \( \{1, 2, 3, \dots, 2021\} \), така че за всякакви три елемента (не непременно различни) \( a, b, c \) от \( M \) имаме \( |a + b – c| > 10 \). Определете най-голямото възможно количество елементи на \( M \).
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
С4
Алиса и Боб играят игра заедно като екип на дъска с размери \( 100 \times 100 \), като всички единични квадрати първоначално са бели. Алиса настройва играта като оцветява точно \( k \) от единичните квадрати в червено в началото. След това, законен ход за Боб е да избере ред или колона с поне 10 червени квадрати и да оцвети всички останали квадрати в него в червено. Какво е най-малкото \( k \), така че Алиса да може да настрои играта по такъв начин, че Боб да може да оцвети цялата дъска в червено след краен брой ходове?
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
С3
Имаме комплект от 343 затворени буркани, като всеки съдържа сини, жълти и червени топчета, като броят на топчетата от всеки цвят е поне 1 и най-много 7. Няма два буркана с точно същото съдържание. Първоначално всички буркани са с капачките нагоре. Да се обърне буркан означава да се промени позицията му от капачка-нагоре към капачка-надолу или обратно. Позволено е да се избере тройка положителни цели числа \( (b; y; r) \in \{1; 2; \dots; 7\}^3 \) и да се обърнат всички буркани, чиито брой сини, жълти и червени топчета се различават с най-много 1 от съответно \( b, y, r \). След \( n \) хода всички буркани се оказват с капачките надолу. Намерете броя на всички възможни стойности на \( n \), ако \( n \leq 2021 \).
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
С2
Нека \( n \) бъде положително цяло число. Дадена е дъска \( 3n \times 3n \), чиито единични квадрати са оцветени в черно и бяло по начин, такъв че започвайки от най-левия горен квадрат, всеки трети диагонал е оцветен в черно, а останалата част от дъската е в бяло. В един ход може да се вземе квадрат \( 2 \times 2 \) и да се промени цветът на всичките му квадрати, така че белите квадрати да станат оранжеви, оранжевите да станат черни, а черните да станат бели. Намерете всички \( n \), за които, използвайки краен брой ходове, можем да направим всички квадрати, които първоначално са черни, бели, а всички квадрати, които първоначално са бели, черни.
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
С1
В Математическия град има безкрайно много автобуси и безкрайно много станции. Станциите са индексирани от степените на $2: 1, 2, 4, 8, 16, \dots$. Всеки автобус минава през крайно много станции, а номерът на автобуса е сумата от всички станции, през които минава. За опростяване, кметът на Математическия град желае номерата на автобусите да формират аритметична прогресия с разлика \( r \) и първи член, който е любимото число на кмета. За кои положителни цели числа \( r \) винаги е възможно, независимо от любимото число на кмета, за всяко дадено \( m \) станции, да има автобус, преминаващ през всичките тях?
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
N7
Алиса избира просто число \( p > 2 \), след което Боб избира положително цяло число \( n_0 \). В първия ход Алиса избира цяло число \( n_1 > n_0 \) и изчислява израза \( s_1 = n_0^{n_1} + n_1^{n_0} \); след това Боб, във втория ход, избира цяло число \( n_2 > n_1 \) и изчислява израза \( s_2 = n_1^{n_2} + n_2^{n_1} \); и така нататък, ред по ред. (Всеки играч знае числата, избрани от другия в предишните ходове.) Победител е този, който първи избере числото \( n_k \), такова че \( p \) дели \( s_k(s_1 + 2s_2 + \cdots + ks_k) \). Кой има печеливша стратегия?
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
N6
Нека \( n \ge 2 \) бъде положително цяло число. Определяме \( f(n) \) като сумата от всички остатъци, получени при делене на \( n \) с всички положителни цели числа, по-малки от \( n \). Например, при делене на 5 с числата 1, 2, 3 и 4, остатъците са 0, 1, 2 и 1 съответно. Следователно, \( f(5) = 0 + 1 + 2 + 1 = 4 \). Намерете всички положителни цели числа \( n \ge 3 \), за които \( f(n) = f(n – 1) + (n – 2) \).
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
N5
Намерете всички двойки цели числа \( (x, y) \), които удовлетворяват уравнението
\[
x^2 + 5y^2 = 2021y.
\]Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
N3
За всяко множество \( A = \{x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\} \) от пет различни положителни цели числа означаваме със \( S_A \) сумата на неговите елементи, а с \( T_A \) — броя на тройките \( (i, j, k) \) с \( 1 \le i < j < k \le 5 \), за които \( x_i + x_j + x_k \) дели \( S_A \).Намерете най-голямата възможна стойност на \( T_A \).
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
N4
Драгош, ранният владетел на Молдова, и Мария Оракул играят следната игра. Първо, Мария избира множество \( S \) от прости числа. След това Драгош дава безкрайна последователност \( x_1, x_2, \dots \) от различни положителни цели числа. След това Мария избира положително число \( M \) и просто число \( p \) от своето множество \( S \). Накрая Драгош избира положително число \( N \) и играта завършва. Драгош печели, ако и само ако за всички цели числа \( n \geq N \), числото \( x_n \) е делимо на \( p^M \); в противен случай Мария печели.
Кой има печеливша стратегия, ако множеството \( S \) е:
а) крайно;
б) безкрайно?Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
N2
Реалните числа \( x, y \) и \( z \) са такива, че \( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \).
а) Намерете най-малката и най-голямата възможна стойност на израза
\[
xy + yz – xz.
\]б) Докажете, че не съществува тройка \( (x, y, z) \) от рационални числа, за която се постига някоя от стойностите от а).
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
N1
Намерете всички положителни цели числа \( a, b, c \), за които числата
\[
ab + 1, \quad bc + 1, \quad ca + 1
\]
са факториели на положителни цели числа.Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
Г5
Нека \( ABC \) е остроъгълен разностранен триъгълник с описана окръжност \( \omega \). Нека \( P \) и \( Q \) са вътрешни точки съответно от страните \( AB \) и \( AC \), такива че \( PQ \parallel BC \). Нека \( L \) е точка върху \( \omega \), такава че \( AL \parallel BC \). Отсечките \( BQ \) и \( CP \) се пресичат в точка \( S \). Правата \( LS \) пресича отново окръжността \( \omega \) в точка \( K \). Докажете, че:
\[
\angle BKP = \angle CKQ.
\]Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
A1
