- Тема
- Участници
- Публикации
- Последна публикация
-
Г4
Нека \(ABCD\) е изпъкнал четириъгълник с \(\angle B = \angle D = 90^{\circ}\). Нека \(E\) е пресечната точка на правите \(BC\) и \(AD\), а \(M\) е средата на отсечката \(AE\). На продължението на \(CD\) след точка \(D\) избираме точка \(Z\), такава че \(MZ = \frac{AE}{2}\). Нека \(U\) и \(V\) са проекциите на съответно точките \(A\) и \(E\) върху правата \(BZ\). Описаната окръжност на триъгълника \(DUV\) пресича отново отсечката \(AE\) в точка \(L\). Ако \(I\) е пресечната точка на правите \(BZ\) и \(AE\), докажете, че правите \(BL\) и \(CI\) се пресичат върху правата \(AZ\).
Започната от:
в: Геометрия
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
Г3
Нека \( ABC \) е остроъгълен триъгълник с описана окръжност \( \omega \) и център на окръжността \( O \). Перпендикулярът от точка \( A \) към страната \( BC \) пресича \( BC \) в точка \( D \), а окръжността \( \omega \) — в точка \( E \). Нека \( F \) е точка от отсечката \( AE \), такава че \( 2 \cdot FD = AE \). Нека \( l \) е правата, перпендикулярна на \( OF \) и минаваща през точка \( F \). Докажете, че правите \( l \), допирателната към \( \omega \) в точка \( E \), и правата \( BC \) се пресичат в една точка.
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
Г2
Нека \( P \) бъде вътрешна точка на равнобедрения триъгълник \( ABC \), в който \( \angle A = 90^\circ \). Ако
\[
\angle PAB + \angle PBC + \angle PCA = 90^\circ,
\]докажете, че \( AP \perp BC \).
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
Г1
Нека \( ABC \) бъде остроъгълен и разностранен триъгълник с център на описаната окръжност \( O \). Нека \( D \) бъде основата на височината от върха \( A \) към страната \( BC \). Нека правите \( BC \) и \( AO \) се пресичат в точка \( E \). Нека \( s \) бъде правата, минаваща през \( E \) и перпендикулярна на \( AO \). Правата \( s \) пресича страните \( AB \) и \( AC \) съответно в точките \( K \) и \( L \). Обозначаваме с \( \omega \) описаната окръжност около триъгълника \( AKL \). Правата \( AD \) пресича \( \omega \) за втори път в точка \( X \).
Докажете, че окръжностите \( \omega \), описаната окръжност на \( \triangle ABC \) и описаната окръжност на \( \triangle DEX \) имат обща точка.
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
А3
Нека \( n \) бъде положително цяло число. Краен набор от цели числа наричаме \( n \)-разделим, ако съществуват точно \( n \) начина този набор да се раздели на две подмножества с еднаква сума на елементите.
Например, множеството \( \{1, 3, 4, 5, 6, 7\} \) е \( 2 \)-разделимо, защото единствените начини да се раздели на две подмножества с равна сума са:
\[
\{1, 3, 4, 5\} \text{ и } \{6, 7\}, \quad \text{или} \quad \{1, 5, 7\} \text{ и } \{3, 4, 6\}.
\]Намерете всички цели числа \( n > 0 \), за които съществува \( n \)-разделимо множество.
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
A2
Нека \( n > 3 \) бъде положително цяло число. Намерете всички цели числа \( k \), за които \( 1 \leq k \leq n \) и за които е изпълнено следното свойство:
Свойство:
Ако \( x_1, x_2, \dots, x_n \) са \( n \) реални числа, такива че
\[
x_i + x_{i+1} + \cdots + x_{i+k-1} = 0 \quad \text{за всяко } i > 1 \ (\text{индексите се разглеждат по модул } n),
\]
то тогава
\[
x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 0.
\]Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
A1
Нека \( n \) (\( n \geq 1 \)) бъде цяло число. Разглеждаме уравнението
\[
2 \cdot \left\lfloor \frac{1}{2x} \right\rfloor – n + 1 = (n + 1)(1 – nx),
\]
където \( x \) е неизвестна реална променлива.а) Решете уравнението за \( n = 8 \).
б) Докажете, че съществува цяло число \( n \), за което уравнението има поне \( 2021 \) решения.(За всяко реално число \( y \), с означението \( \lfloor y \rfloor \) обозначаваме най-голямото цяло число \( m \), за което \( m \leq y \).)
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
N6
Намерете всички положителни цели числа $n$, за които съществува цяло число, кратно на $n$, такова че сумата от квадратите на цифрите му е равна на $n$.
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
N5
Намерете всички двойки от положителни цели числа \( (a, p) \), където \( p \) е простото число, така че за всяка двойка положителни цели числа \( m \) и \( n \), остатъкът при деленето на \( a^{2^n} \) на \( p^n \) е различен от нула и е равен на остатъка при деленето на \( a^{2^m} \) на \( p^m \).
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
N4
Да разгледаме редицата \( u_0, u_1, u_2, \dots \), дефинирана от \( u_0 = 0, u_1 = 1 \), и \( u_n = 6u_{n – 1} + 7u_{n – 2} \) за \( n \ge 2 \). Покажете, че няма ненулеви цели числа \( a, b, c, n \), такива че
\[
ab(a + b)(a^2 + ab + b^2) = c^{2022} + 42 = u_n.
\]Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
N3
Нека \( p \) и \( q \) са прости числа и \( a > 1 \). Намерете всички четворки от положителни цели числа \( (p, q, a, b) \), такива че
\[
p^a = 1 + 5q^b.
\]Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
N2
Нека \( a < b < c < d < e \) са положителни цели числа. Докажете, че \[ \frac{1}{[a, b]} + \frac{1}{[b, c]} + \frac{1}{[c, d]} + \frac{2}{[d, e]} \le 1, \] където \( [x, y] \) е най-малкото общо кратно на \( x \) и \( y \) (например, \( [6, 10] = 30 \)). Кога се достига равенство?
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
N1
Нека \( k \) и \( n \) са положителни цели числа, които удовлетворяват следното уравнение:
\[
1! + 2! + \dots + k! = 1 + 2 + \dots + n.
\]
Намерете всички такива двойки \( (k, n) \).Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
Г6
Нека \( ABC \) е правоъгълен триъгълник с хипотенуза \( BC \). Допирателната към описаната окръжност на триъгълник \( ABC \) в точка \( A \) пресича правата \( BC \) в точка \( T \). Точките \( D \) и \( E \) са избрани така, че \( AD = BD \), \( AE = CE \), и \( \angle CBD = \angle BCE < 90^{\circ} \). Докажете, че точките \( D \), \( E \) и \( T \) лежат на една права.
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
Г5
Даден е остроъгълен триъгълник \( ABC \) с ортоцентър \( H \) и описана окръжност \( k \). Нека \( \omega \) е окръжността с диаметър \( AH \), а \( P \) е втората обща точка на \( \omega \) и \( k \), различна от \( A \). Нека \( BP \) и \( CP \) пресичат \( \omega \) за втори път в точки \( Q \) и \( R \) съответно. Ако \( D \) е петата на перпендикуляра от \( A \) към \( BC \), а \( S \) е пресечната точка на \( \omega \) и \( QD \), докажете, че \( HR = HS \).
Започната от:
- 1
- 1
- преди 1 year, 6 months
-
Г4
